Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Uma pessoa aplica um capital [tex]C[/tex] em um investimento que rende a uma taxa de juros compostos de [tex]12\%[/tex] ao ano. Determine o tempo mínimo, em anos, para que esse capital seja duplicado.
Considere [tex]\log 2 = 0,30[/tex], [tex]\log 5 = 0,70[/tex] e [tex]\log 7 = 0,85[/tex].
Solução
O cálculo do montante de uma aplicação a uma taxa de juros compostos é dado por
[tex]\qquad M = C(1+i)^t,[/tex]
onde [tex]M[/tex] é o montante, [tex]C[/tex] o capital, [tex]i[/tex] a taxa de juros e [tex]t[/tex] o tempo (medido de acordo com a taxa de juros [tex]i[/tex]).
Assim, usando a fórmula apresentada, como queremos [tex]M = 2C,[/tex] escrevemos
[tex]\qquad 2C = C(1+0,12)^t[/tex]
[tex]\qquad 2 = 1,12^t.[/tex]
Aplicando o logaritmo na base [tex]10[/tex] em ambos os membros, temos
[tex]\qquad \log 2 = \log 1,12^t.[/tex]
Então,
[tex]\qquad\begin{align}0,30 &= t\log 1,12\\
&= t\log \left(\dfrac{112}{100}\right)\\
&= t\log \left(\dfrac{28}{25}\right)\\
&= t(\log 28-\log 25)\\
&= t(\log (2^2\cdot 7)-\log 5^2)\\
&= t(\log 2^2+\log 7-\log 5^2)\\
&= t(2\log 2+\log 7-2\log 5)\\
&= t(2\cdot 0,30+0,85-2\cdot 0,70)\\
&= t\cdot 0,05.\end{align}[/tex]
Assim,
[tex]\qquad t = \dfrac{0,30}{0,05}= \dfrac{30}{5}= 6.[/tex]
Logo, o tempo mínimo necessário para que o capital seja duplicado é de 6 anos.
Nota: vale lembrar que, como foram utilizadas aproximações para os valores dos logaritmos, a resposta final também será uma aproximação do tempo necessário.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.