✏ Link do problema para dispositivos da Apple.
Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Temos duas moedas perfeitamente iguais de [tex]1[/tex] real.
Fazemos rodar uma delas em torno da outra, mantendo sempre o contato, mas sem derrapar.
Quando a moeda que está a rodar volta à posição inicial, quantas voltas ela deu sobre si própria?
Extraído de Simulado do Colégio Ari de Sá – Fortaleza.
Solução
Seja [tex]R[/tex] a medida dos raios de ambas as moedas.
Observe que a moeda se movimenta ao longo do perímetro da moeda fixa e também sofre rotação. O único ponto da moeda que se move sem ser afetado pela rotação é seu centro. Como não há derrapagem, o centro da moeda que roda em torno da outra descreve uma circunferência de raio [tex]2R[/tex] conforme figura a seguir.
Desta forma, a moeda móvel percorre [tex]2 \cdot \pi \cdot (2 \cdot R) = 2 \cdot (2 \cdot \pi \cdot R)[/tex].
Como a trajetória percorrida pelo centro é a mesma da circunferência, a distância percorrida corresponde ao comprimento de duas voltas em torno de si mesma.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Para aprender mais…
Este resultado contraintuivo é conhecido como o paradoxo da rotação da moeda. O seguinte gif mostra que a moeda externa faz uma rotação completa, voltando à mesma posição, depois de girar apenas metade da moeda interna. Girando totalmente em torno da moeda interna, terá completado duas rotações.
Já este gif mostra a curva formada por um ponto da moeda externa durante o movimento.
Esta curva chama-se cardioide (sua forma assemelha-se a um coração!) e tem importantes propriedades matemáticas.
Gifs extraídos da Wikipédia
Um applet para ajudar
Espere o aplicativo carregar completamente e você visualizará duas moedas:
– a moeda da esquerda (coroa) está fixa;
– a moeda da direita (cara) é a que será movimentada.
Assim, clique com qualquer botão do mouse sobre a moeda da direita, mantenha o botão apertado e, em seguida, movimente o mouse para fazer a moeda rodar ao longo da borda da moeda coroa. (Se você estiver utilizando um celular ou um tablet, toque levemente na moeda da direita e movimente-a.)
OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra