Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Determinado dia, Joana criou a senha de uma de suas contas. Passados alguns dias, ao tentar acessar a conta, ela não lembrava exatamente a senha, mas lembrava-se de algumas características:
- A senha era composta pelos números de 1 a 8, sem repetição.
- O primeiro dígito da senha era ímpar, e os dígitos se alternavam entre ímpar e par.
Sabendo que Joana possui três tentativas para descobrir a senha correta, qual é a probabilidade de ela não perder o acesso à sua conta?
Solução 1
Precisamos encontrar o total de possíveis senhas que podem existir com as características que Joana lembra.
Levando-se em conta os dois pontos destacados no enunciado, para o primeiro dígito existem 4 possíbilidades (1, 3, 5, 7); para o segundo dígito, existem também 4 possibilidades (2, 4, 6, 8). Para o terceiro dígito, existem 3 possibilidades (qualquer ímpar de 1 a 8, com exceção do que foi colocado para ser o primeiro), e assim por diante.
Dessa forma, existem [tex]4\cdot 4\cdot 3\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot 1\cdot 1 = 576[/tex] possibilidades de senha. Devemos lembrar que ela tem 3 chances para colocar a senha.
- A probabilidade de ela acertar de primeira é [tex]\dfrac{1}{576}.[/tex]
- A probabilidade de ela errar na primeira, mas acertar na segunda, é [tex]\dfrac{575}{576}\cdot \dfrac{1}{575}=\dfrac{1}{576}.[/tex]
- A probabilidade de ela errar na primeira e segunda chances, mas acertar na terceira, é [tex]\dfrac{575}{576}\cdot\dfrac{574}{575}\cdot \dfrac{1}{574}=\dfrac{1}{576}.[/tex]
Logo, a probabilidade de Joana não perder o acesso à sua conta é
[tex]\qquad p = \dfrac{1}{576} +\dfrac{1}{576} + \dfrac{1}{576} = \dfrac{3}{576} = \dfrac{1}{192}\approx 0,0052 = 0,52 \%. [/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Outra maneira de finalizar a solução é observar que a probabilidade de Joana errar todas as 3 tentativas é de
[tex]\qquad \dfrac{\cancel{575}}{576}\times \dfrac{\cancel{574}}{\cancel{575}} \times \dfrac{573}{\cancel{574}} = \dfrac{573}{576}. [/tex]
Logo, a probabilidade de Joana não perder o acesso à sua conta é de
[tex]\qquad p = 1-\dfrac{573}{576}= \dfrac{3}{576} = \dfrac{1}{192}\approx 0,0052 = 0,52 \%. [/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Coitada da Joana!
