.Problema: Desafio das divisões

Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)

Encontre o menor número inteiro positivo que, quando dividido por 3, 4, 5 e 6, deixa restos 1, 2, 3 e 4, respectivamente.

Solução 1

Para resolver essa questão, devemos encontrar o menor inteiro positivo N que satisfaz as seguintes equações:

3w + 1 = N;
4x + 2 = N;
5y + 3 = N;
6z + 4 = N.

De acordo com a equação 6z + 4 = N, os 10 menores inteiros positivos que N pode assumir são: 4, 10, 16, 22, 28, 34, 40, 46, 52, 58.

Desses, os números 28 e 58 satisfazem também 5y + 3 = N, porém apenas o número 58 satisfaz tanto 4x + 2 = N, quanto 3w + 1 = N. Logo, o menor número inteiro positivo que satisfaz as condições do enunciado é 58.

Solução elaborada pelo COM Sociedade de Hilbert, com contribuições dos Moderadores do Blog.

A segunda solução utiliza congruência modular. Este não é um assunto curricular do ensino básico, mas é muito útil em olimpíadas. Assim, não deixe de dar uma passadinha na nossa Sala sobre a Aritmética dos Restos.

Solução 2

Pelo enunciado, temos:

X ≡ 1 (mod 3);
X ≡ 2 (mod 4);
X ≡ 3 (mod 5);
X ≡ 4 (mod 6).

Desenvolvendo:

X – 1 ≡ 0 (mod 3);
X – 2 ≡ 0 (mod 4);
X – 3 ≡ 0 (mod 5);
X – 4 ≡ 0 (mod 6).

Somando seu respectivo módulo em cada congruência, obtemos:

X + 2 ≡ 0 (mod 3);
X + 2 ≡ 0 (mod 4);
X + 2 ≡ 0 (mod 5);
X + 2 ≡ 0 (mod 6).

Desse modo, é fato que mmc(3, 4, 5, 6) | (X + 2), ou seja, 60 | (X + 2).

Portanto, X + 2 é da forma 60K, com K natural. Como buscamos o menor inteiro positivo X, tomamos K = 1. Logo,

60 = X + 2
X = 58.

Solução elaborada pelo COM Mathlete, com contribuições dos Moderadores do Blog.

Participaram da discussão os Clubes: Mathlete; Phidias ; Sociedade de Hilbert ; Sociedade dos termos variados.