.Problema de Gincana: Uma soma complicada

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Problema

Na figura abaixo vemos um triângulo equilátero

$ABC$ cuja circunferência a ele inscrita é tangenciada pela reta que passa pelos pontos

$M$ e

$N$ , pontos estes pertencentes a lados do triângulo.

Determine o valor de

$\boxed{\dfrac{CM}{MA}+\dfrac{CN}{NB}}\,.$

Notações e Lembretes

Denotaremos o segmento de reta definido por dois pontos, digamos $X$ e $Y$ , por $\overline{XY}$ e seu respectivo comprimento por $XY$ .
(Relação dos segmentos tangentes) Se de um ponto $T$ conduzirmos os segmentos $\overline{TT_1}$ e $\overline{TT_2}$ tangentes a uma circunferência, sendo $T_1$ e $T_2$ pontos da circunferência, então $\overline{TT_1}$ e $\overline{TT_2}$ têm o mesmo comprimento.

(Lei dos Cossenos) Em um triângulo $ABC$ qualquer, para lados opostos aos ângulos internos ${\widehat {A}},{\widehat {B}}$ e ${\widehat {C}},$ com medidas respectivamente $a,b$ e $c,$ valem as relações:
$\qquad {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot cos{\widehat {A}}\,\!}$ ;
$\qquad {\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2\cdot a\cdot c\cdot cos{\widehat {B}}\,\!}$ ;
$\qquad {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot cos{\widehat {C}}\,\!}$ .

Solução

Vamos observar, inicialmente, apenas o triângulo equilátero

$ABC$ e a circunferência a ele inscrita.
Aplicando o Lembrete I sucessivamente

ao vértice $A$ e aos pontos de tangência $T_1$ e $T_2$ ;
ao vértice $B$ e aos pontos de tangência $T_2$ e $T_3$ ;
ao vértice $C$ e aos pontos de tangência $T_1$ e $T_3$ ;

concluímos que $AT_1=AT_2$ , $BT_2=BT_3$ e $CT_1=CT_3$ . Indicaremos esses comprimentos por $a$ , $b$ e $c$ , respectivamente, de acordo com a figura a seguir.

Como o triângulo $ABC$ é equilátero, segue que $a+b=b+c=a+c$ e, portanto, $a=b=c.$ Podemos então simplificar a imagem do triângulo $ABC.$

Vamos observar agora o triângulo $ABC$ , a circunferência a ele inscrita, a reta tangente que passa pelos pontos $M$ e $N$ e o ponto de tangência $T_4.$

Podemos aplicar o Lembrete I, também,

ao ponto $M$ e aos pontos de tangência $T_1$ e $T_4$ ;
ao ponto $N$ e aos pontos de tangência $T_3$ e $T_4$ ;

e concluir que $MT_1=MT_4$ e $NT_3=NT_4$ . Indicaremos esses comprimentos por $x$ e $y$ , respectivamente, de acordo com a figura a seguir. Perceba que destacamos os comprimentos dos segmentos $\overline{CM}$ e $\overline{CN}$ , para ajudar nos cálculos que faremos a seguir.

Vamos focar nossa atenção nos triângulos $ABC$ e $MNC$ com as medidas que já conhecemos, acrescidas da medida do ângulo de vértice $C$ que sabemos ser $60^\circ$ , já que o triângulo $ABC$ é equilátero.

Vamos calcular, então o valor de $\boxed{\dfrac{CM}{MA}+\dfrac{CN}{NB}}:$

$\qquad \dfrac{CM}{MA}+\dfrac{CN}{NB}=\dfrac{a-x}{a+x}+\dfrac{a-y}{a+y}\\ \qquad \dfrac{CM}{MA}+\dfrac{CN}{NB}=\dfrac{(a-x)\cdot (a+y)+(a-y)\cdot (a+x)}{(a+x)\cdot (a+y)}\\ \qquad \dfrac{CM}{MA}+\dfrac{CN}{NB}=\dfrac{a^2+ay-ax-xy+a^2+ax-ay-xy}{(a+x)\cdot (a+y)}\\ \qquad \dfrac{CM}{MA}+\dfrac{CN}{NB}=\dfrac{a^2-xy+a^2-xy}{(a+x)\cdot (a+y)}\\ \qquad \dfrac{CM}{MA}+\dfrac{CN}{NB}=\dfrac{2a^2-2xy}{(a+x)\cdot (a+y)}.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}\\$
Agora, vamos aplicar a Lei dos cossenos (), ao vértice $C$ do triângulo $MNC$
$\qquad \left(x+y\right)^2=\left(a-x\right)^2+\left(a-y\right)^2-2\cdot \left(a-x\right)\cdot \left(a-y\right) \cdot cos60^\circ\\ \qquad \left(x+y\right)^2=\left(a-x\right)^2+\left(a-y\right)^2-2\cdot \left(a-x\right)\cdot \left(a-y\right) \cdot \dfrac{1}{2}\\ \qquad \left(x+y\right)^2=\left(a-x\right)^2+\left(a-y\right)^2-\left(a-x\right)\cdot \left(a-y\right) \\ \qquad x^2+2xy+y^2=a^2-2ax+x^2+a^2-2ay+y^2-\left(a^2-ay-ax+xy\right)\\ \qquad x^2+2xy+y^2=a^2-2ax+x^2+a^2-2ay+y^2-a^2+ay+ax-xy\\ \qquad x^2+2xy+y^2=2a^2-ax+x^2-ay+y^2-a^2-xy\\ \qquad\cancel{x^2}+2xy+\bcancel{y^2}=2a^2-ax+\cancel{x^2}-ay+\bcancel{y^2}-a^2-xy\\ \qquad 0=2a^2-ax-ay-a^2-xy-2xy\\ \qquad 2a^2-2xy=ax+ay+a^2+xy\\ \qquad 2a^2-2xy=(a^2+ax)+(ay+xy)\\ \qquad 2a^2-2xy=a\cdot \left(a+x\right)+y\cdot \left(a+x\right)\\ \qquad2a^2-2xy=\left(a+x\right)\cdot \left(a+y\right)\\ \qquad \dfrac{2a^2-2xy}{\left(a+x\right)\cdot \left(a+y\right)}=1.\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}\\$
Portanto, por $\textcolor{#800000}{(i)}$ e $\textcolor{#800000}{(ii)}$ , segue que $\fcolorbox{black}{#FFEEEF}{$\dfrac{CM}{MA}+\dfrac{CN}{NB}=1$}\,.$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Primeira Gincana de 2023 – Clubes de Matemática da OBMEP
Nível B – Questão Difícil