Problema
Escreve-se em ordem crescente os múltiplos positivos de 3 cujos respectivos sucessores imediatos são quadrados perfeitos.
Qual é o [tex]2006^{\circ}[/tex] termo dessa sequência?
Solução
Os primeiros termos da sequência são [tex]3, \, 15, \, 24, \, 48, \, 63, \, 99, \, 120, \, \cdots \, [/tex]
Seja [tex]n[/tex] um múltiplo positivo de [tex]3[/tex]; assim [tex]n[/tex] pertence a essa sequência se, e somente se, existir um inteiro positivo [tex]k[/tex] tal que [tex]n + 1 = k^2[/tex].
Se [tex]n + 1 = k^2[/tex], então [tex]n = k^2 -1 = (k – 1) \cdot (k + 1)[/tex] e, sendo [tex]n [/tex] um múltiplo de [tex]3[/tex], um dos fatores [tex] (k – 1) [/tex] ou [tex] (k + 1) [/tex] deve ser múltiplo de [tex]3[/tex], o que ocorre se, e somente se, [tex]k[/tex] não for múltiplo de 3. Logo, [tex]k[/tex] é da forma [tex]3a-1[/tex] ou [tex]3a+1[/tex], com [tex]a[/tex] um inteiro positivo.
Pelo exposto, podemos concluir que cada múltiplo de [tex]3[/tex] escrito na sequência está associado a um inteiro [tex]k[/tex], maior ou igual a 2, tal que [tex]k[/tex] não é múltiplo de [tex]3[/tex]. E como [tex]n = k^2 -1[/tex], observamos também que quanto maior o inteiro [tex]k[/tex], maior será [tex]n[/tex].
Vamos, então, procurar o [tex]k[/tex] que definirá o termo [tex]2006[/tex] dessa sequência; para isso, acompanhe a discussão que segue.
Observe que, se formarmos ternos ordenados de números inteiros consecutivos a partir do [tex]2[/tex], teremos sempre dois valores que não são múltiplos de [tex]3[/tex] em cada terno, ou seja, valores de [tex]k[/tex] que definem termos da sequência requerida:
[tex]\quad \underbrace{(2;3=3\times 1; \, 4)}_{1^o \, terno \, ordenado} \, \, \, \underbrace{( 5; \, 6=3\times 2; \, 7)}_{2^o \, terno \, ordenado} \, \, \, \underbrace{(8; 9=3\times 3; \, 10)}_{3^o \, terno \, ordenado} \, \, \, \underbrace{(11; \, 12=3\times 4; \, 13)}_{4^o \, terno \, ordenado} \, \, \cdots \,. [/tex]
Note que, se representarmos a sequência em questão por [tex]s_1, \, s_2, \, s_3, \, s_4, \, \cdots \, , \, s_m, \, \cdots \, [/tex], então
- [tex]k=2[/tex] define [tex]s_1[/tex] ([tex]s_1=2^2-1=3 [/tex])
- [tex]k=4[/tex] define [tex]s_2[/tex] ([tex]s_2=4^2-1=15 [/tex])
- [tex]k=5[/tex] define [tex]s_3[/tex] ([tex]s_3=5^2-1=24 [/tex])
- [tex]k=7[/tex] define [tex]s_4[/tex] ([tex]s_4=7^2-1=48 [/tex])
- [tex]k=8[/tex] define [tex]s_5[/tex] ([tex]s_5=8^2-1=63 [/tex])
- [tex]k=10[/tex] define [tex]s_6[/tex] ([tex]s_6=10^2-1=99 [/tex])
- [tex]k=11[/tex] define [tex]s_7[/tex] ([tex]s_7=11^2-1=120 [/tex])
- [tex]k=13[/tex] define [tex]s_8[/tex] ([tex]s_8=13^2-1=168 [/tex])
- . . .
O [tex]2006^{\circ}[/tex] termo dessa sequência está associado ao [tex]2006^{\circ}[/tex] inteiro, maior ou igual a 2, que não é múltiplo de [tex]3[/tex], mas em qual dos ternos ordenados vamos encontrar o valor de [tex]k[/tex] que corresponde ao [tex]2006^{\circ}[/tex] termo da sequência, isto é, [tex]s_{2006}[/tex]?
Uma vez que [tex]2006 = 2 \times 1003[/tex] e que há 2 possíveis valores para [tex]k[/tex] em cada terno, observamos o [tex]1003^{\circ}[/tex] terno ordenado:
[tex]\qquad (3\times 1003-1 \, , \, 3\times 1003 \, , \, 3\times 1003+1)=(3008,3009,3010)[/tex],
e, como o índice [tex]2006[/tex] é par, o valor de [tex]k[/tex] que define [tex]s_{2006}[/tex] é o número que está à direita no respectivo terno ordenado: [tex]k=3010[/tex].
Portanto, o [tex]2006^{\circ}[/tex] termo da sequência será [tex]\boxed{3010^2 – 1=9060099}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Nível C – Questão Difícil