.Problema de Gincana: João e Maria

Problema

(a) $5 \,km$.
(b) $2\sqrt{5} \,km$.
(c) $4\sqrt{3}\, km$.
(d) $2\, km$.
(e) $\dfrac{4}{3}\, km$.

Solução

$\qquad \qquad d(t) = \sqrt{(3t)^2 + (10-6t)^2}$

$\qquad \qquad d(t) = \sqrt{45t^2-120t + 100}\,.$

A função $\, d \,$é minimizada quando a função quadrática definida pelo radicando for mínima.
Assim, se $f(t)=45t^2-120t + 100$, o valor mínimo de $d$ é o valor mínimo de $f$, o que ocorre quando $t = \dfrac{120}{90} = \dfrac{4}{3}$.
Para esse valor de $\, t$ temos a distância mínima:

$\qquad \qquad d_{min} = \sqrt{45 \left( \dfrac{4}{3}\right)^2-120 \cdot \frac{4}{3} + 100}$

$\qquad \qquad d_{min} = \sqrt{45 \cdot \dfrac{16}{9}-120 \cdot \frac{4}{3} + 100}$

$\qquad \qquad d_{min} = \sqrt{80-160 + 100}$

$\qquad \qquad d_{min} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$.

Assim, a distância procurada é de $\, 2 \sqrt{5}\,km$.

Observação: Poderíamos ter calculado o valor mínimo $d_{min}$ utilizando diretamente o valor mínimo de $f$, que denotaremos por $f_{min}$.
Acompanhe:
$\qquad d_{min}=\sqrt{f_{min}}\\ \qquad d_{min}=\sqrt{\dfrac{4\cdot 45\cdot100-120^2}{4\cdot 45}}\\ \qquad d_{min}=\sqrt{\dfrac{18\,000-14\,100}{180}}\\ \qquad d_{min}=\sqrt{\dfrac{3600}{180}}\\ \qquad d_{min}=\sqrt{20}=2 \sqrt{5}.$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.