Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
Determine o menor inteiro positivo que, quando multiplicado por [tex]468[/tex], resulte em um cubo perfeito.
Solução
O menor inteiro positivo a ser multiplicado por [tex]468[/tex] para que tenhamos um cubo perfeito é o [tex]117[/tex]. Observe como podemos chegar a essa conclusão.
Inicialmente, convém observarmos que qualquer número inteiro positivo que seja um cubo perfeito, quando escrito na forma fatorada, tem todos seus fatores primos com expoentes múltiplos de [tex]3[/tex]. (Você saberia mostrar isso?)
Vejamos alguns exemplos:
[tex]\qquad 216=6\cdot 6\cdot 6=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3 \cdot 3=2^3\cdot 3^3[/tex]
ou
[tex]\qquad8000=20\cdot 20\cdot 20=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 5\cdot 5 = 2^6\cdot 5^3[/tex].
Sendo assim, ao olharmos para a forma fatorada de [tex]468[/tex] temos [tex]468=2^3\times 3^2\times39^2[/tex] e, portanto, a fim de obtermos expoentes múltiplos de [tex]3[/tex] (da menor maneira possível), basta multiplicarmos [tex]468[/tex] uma vez por [tex]3[/tex] e uma vez por [tex]39[/tex], ou seja, por [tex]3\times 39=117[/tex].
Observe:
[tex]\qquad 468 \textcolor{red}{\times \underbrace{3 \times 39}_{117}}=\left(2^3\times 3^2\times39^2\right) \times 3 \times 39=2^3\times 3^3\times39^3=\textcolor{red}{\underbrace{~~234^3~~}_{\text{cubo perfeito}}}.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.