.Problema: Configurações diferentes de carros

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)

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Uma montadora de automóveis divulgou que oferta a seus clientes mais de $1 000$ configurações diferentes de carro, variando o modelo, a motorização, os opcionais e a cor do veiculo. Atualmente, ela oferece $7$ modelos de carros com $2$ tipos de motores: 1.0 e 1.6. Já em relação aos opcionais, existem $3$ escolhas possíveis: central multimídia, rodas de liga leve e bancos de couro, podendo o cliente optar por incluir um, dois, três ou nenhum dos opcionais disponíveis.
Para ser fiel à divulgação feita, determine a quantidade mínima de cores que a montadora deverá disponibilizar a seus clientes.

Extraído de Enem 2022.

Solução

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Inicialmente vamos determinar de quantas formas podemos escolher os opcionais, por meio do uso de combinação simples. Para isso, vamos analisar em casos:

• três opcionais: existe apenas $1$ possibilidade, que é o caso em que escolhemos os três opcionais;
• dois opcionais: existem $C^2_3 = 3$ possibilidades;
• um opcional: existem $C^1_3 = 3$ possibilidades;
• nenhum opcional: existe $C^0_3 = 1$ possibilidade.

Assim, o total de maneiras de escolhermos os opcionais é de $1+3+3+1 = 8$.

Sendo $n$ a quantidade mínima de cores disponibilizadas, devemos ter

$\qquad 7\cdot 2\cdot 8\cdot n\gt 1 000$

$\qquad 112\cdot n\gt 1 000$

$\qquad n\gt \dfrac{1 000}{112}$

$\qquad n\gt 8,92.$

Logo, a quantidade mínima de cores disponibilizadas deve ser $n=9$.

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.