Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Uma montadora de automóveis divulgou que oferta a seus clientes mais de [tex]1 000[/tex] configurações diferentes de carro, variando o modelo, a motorização, os opcionais e a cor do veiculo. Atualmente, ela oferece [tex]7[/tex] modelos de carros com [tex]2[/tex] tipos de motores: 1.0 e 1.6. Já em relação aos opcionais, existem [tex]3[/tex] escolhas possíveis: central multimídia, rodas de liga leve e bancos de couro, podendo o cliente optar por incluir um, dois, três ou nenhum dos opcionais disponíveis.
Para ser fiel à divulgação feita, determine a quantidade mínima de cores que a montadora deverá disponibilizar a seus clientes.
Extraído de Enem 2022.
Solução
Inicialmente vamos determinar de quantas formas podemos escolher os opcionais, por meio do uso de combinação simples. Para isso, vamos analisar em casos:
- três opcionais: existe apenas [tex]1[/tex] possibilidade, que é o caso em que escolhemos os três opcionais;
- dois opcionais: existem [tex]C^2_3 = 3[/tex] possibilidades;
- um opcional: existem [tex]C^1_3 = 3[/tex] possibilidades;
- nenhum opcional: existe [tex]C^0_3 = 1[/tex] possibilidade.
Assim, o total de maneiras de escolhermos os opcionais é de [tex]1+3+3+1 = 8[/tex].
Sendo [tex]n[/tex] a quantidade mínima de cores disponibilizadas, devemos ter
[tex]\qquad 7\cdot 2\cdot 8\cdot n\gt 1 000[/tex]
[tex]\qquad 112\cdot n\gt 1 000[/tex]
[tex]\qquad n\gt \dfrac{1 000}{112}[/tex]
[tex]\qquad n\gt 8,92.[/tex]
Logo, a quantidade mínima de cores disponibilizadas deve ser [tex]n=9[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participaram da discussão os Clubes Phidias; Potências de Euler.