Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Isadora desafiou seus alunos a colorirem o mapa das regiões do Brasil utilizando as cores azul, vermelha, laranja e verde, de tal forma que regiões adjacentes não compartilhassem a mesma cor.
De quantas maneiras diferentes os alunos podem colorir esse mapa?
Solução 1
Observe que a região Centro-Oeste é adjacente a todas as demais regiões. Assim, os alunos podem começar a colorir por essa região.
Como existem quatro cores disponíveis, então a região Centro-Oeste pode ser colorida de [tex]4[/tex] maneiras.
Vamos agora considerar dois casos:
-
As regiões Norte e Sudeste têm mesma cor;
Neste caso, o total de maneiras de colorir as regiões Norte e Sudeste é [tex]3[/tex], pois deve ser diferente da cor que foi colorida a região Centro-Oeste.
Dessa forma, existem [tex]2[/tex] maneiras de colorir a região nordeste e [tex]2[/tex] maneiras de colorir a região sul.
Portanto, para este primeiro caso, existem [tex]4\cdot 3\cdot 2\cdot 2 = 48[/tex] modos. -
As regiões Norte e Sudeste têm cores distintas.
Neste outro caso, existem [tex]3[/tex] maneiras de colorir a região norte, uma vez que tal cor deve ser diferente da que foi colorida a região Centro-Oeste. Para colorir a região Sudeste existem [tex]2[/tex] possibilidades, já que deve ser diferente das cores que foram usadas para colorir as regiões Centro-Oeste e Norte. Para colorir a região Nordeste existe uma única maneira, já que ela é adjacente a outras [tex]3[/tex] regiões e todas com cores diferentes. Finalmente, para colorir a região Sul, existem [tex]2[/tex] maneiras, já que ela é adjacente a duas outras regiões com cores distintas.
Assim, o total de modos de colorir o mapa levando-se em conta este segundo caso, é [tex]4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 2 = 48.[/tex]
Logo, o total de maneiras diferentes que os alunos de Isadora podem colorir o mapa, é [tex]48+48 = 96[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
- Começando pelo Sul, podemos utilizar todas as cores (4 opções) porque nenhum estado foi pintado ainda.
- No Sudeste, podemos utilizar todas as cores exceto a utilizada no Sul (3 opções).
- No Centro-Oeste, podemos utilizar todas as cores exceto as utilizadas no Sul e no Sudeste (2 opções).
- No Nordeste, podemos utilizar todas as cores exceto as utilizadas no Sudeste e Centro-Oeste (2 opções).
- No Norte, podemos utilizar todas as cores exceto as utilizadas no Centro-Oeste e no Nordeste (2 opções).
Total de possibilidades: [tex]4\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot 2=96.[/tex]
Solução elaborada pelo Clube Koreil Guys.
Participaram da discussão os Clubes Koreil Guys, Matemático do Agnus Dei e Phidias.