Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Os polinômios [tex]p(x) = ax^2 + (2-a)x \, – \, 6[/tex] e [tex]q(x) = 3x^2 + 3x + \frac{b}{4}[/tex], onde [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] são números reais, possuem as mesmas raízes. Quais são os valores de [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex]?
Solução 1
Dado um polinômio de grau 2 em sua forma geral [tex]ax^2 + bx + c[/tex], há relações entre seus coeficientes [tex]a, b, c[/tex] e a soma e o produto de suas raízes [tex]x_1, x_2[/tex], conhecidas como Relações de Girard (visite esta Sala do nosso Blog!):
\[
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{ e } \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}.
\]
Denotando por [tex]x_1, x_2[/tex] as raízes em comum dos polinômios [tex]p(x)[/tex] e [tex]q(x)[/tex], temos que
[tex]\qquad (I)
\begin{cases}
x_1 + x_2 = -\dfrac{2-a}{a} \\
x_1 + x_2 = -1
\end{cases}
[/tex]
e
[tex]\qquad (II)
\begin{cases}
x_1 \cdot x_2 = -\dfrac{6}{a} \\
x_1 \cdot x_2 = \dfrac{b}{12}
\end{cases}.
[/tex]
Por [tex](I)[/tex], temos que [tex]-\dfrac{2-a}{a} = -1[/tex], ou seja, [tex]a = 1[/tex]. Por [tex](II)[/tex], temos [tex]-\dfrac{6}{a} = \dfrac{b}{12}[/tex], onde substituímos [tex]a = 1[/tex] para encontrar [tex]b = -72[/tex]. Portanto, [tex]a = 1[/tex] e [tex]b = -72.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Como os polinômios possuem as mesmas raízes, então são múltiplos. Assim:
\[
k\cdot a=3, \quad
k\cdot (2-a)=3, \quad
k\cdot (-6)=b/4,
\]
para algum [tex]k[/tex] não nulo.
Então:
\[
k\cdot a=k\cdot(2-a) \Rightarrow
a=2-a \Rightarrow
2a=2 \Rightarrow
a=1.
\]
Agora podemos descobrir [tex]k[/tex] substituindo:
\[
k\cdot a=3 \Rightarrow
k \cdot 1=3 \Rightarrow
k=3.
\]
E por fim, basta substituir novamente e encontrar [tex]b[/tex]:
\[
k\cdot (-6)=b/4 \Rightarrow
3\cdot (-6)=b/4 \Rightarrow
-18=b/4 \Rightarrow
-18\cdot 4=b \Rightarrow
-72=b.
\]
Logo, os valores de [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] são, respectivamente, [tex]1[/tex] e [tex]-72[/tex].
Solução elaborada pelo clube Villa-Lobos, com contribuições dos moderadores do Blog.