Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
A camisa de um clube de futebol é formada por sete listras verticais (frente da camisa) das cores preta e branca, conforme a figura 1.
A empresa que confecciona a camisa oferece modelos com diferentes maneiras de disposição das cores das listras, e o clube exige que sempre exista a cor preta entre brancas e/ou a cor branca entre pretas, conforme apresentado na figura 1 (camisa original) e nas figuras 2, 3 e 4 abaixo.
Em outras palavras, a camisa não podem ser de uma cor só, tampouco toda branca de um lado e toda preta de outro: deve haver alguma intercalação. Considerando apenas a frente da camisa e cumprindo a exigência do clube, quantos modelos de camisa podem ser confeccionados pela empresa?
Adaptado de Escola Naval.
Solução
Representando por ([tex]P[/tex]) a cor preta e ([tex]B[/tex]) a cor branca, como são sete listras, cada uma delas pode ser [tex]P[/tex] ou [tex]B[/tex]. Portanto, pelo princípio multiplicativo, há [tex]2 \cdot 2 \cdot 2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{7} =128[/tex] maneiras de disposição das cores. No entanto, alguns casos não atendem às exigências; são eles:
[tex]\qquad BBBBBBB;[/tex]
[tex]\qquad BBBBBBP;[/tex]
[tex]\qquad BBBBBPP;[/tex]
[tex]\qquad BBBBPPP;[/tex]
[tex]\qquad BBBPPPP;[/tex]
[tex]\qquad BBPPPPP;[/tex]
[tex]\qquad BPPPPPP;[/tex]
[tex]\qquad PPPPPPP;[/tex]
[tex]\qquad PPPPPPB;[/tex]
[tex]\qquad PPPPPBB;[/tex]
[tex]\qquad PPPBBBB;[/tex]
[tex]\qquad PPBBBBB;[/tex]
[tex]\qquad PBBBBBB;[/tex]
[tex]\qquad PPPPPPP.[/tex]
Logo, há [tex]128 -14 = 114[/tex] modelos de camisa que respeitam às condições.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participou da discussão o Clube Os Matemágicos.