Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
A altura [tex]A(t)[/tex], em quilômetros, do cogumelo de fumaça de uma explosão atômica é uma função do tempo [tex]t[/tex] após a explosão, em minutos. Para um tipo hipotético de bomba, a bomba X, essa função é dada pela fórmula [tex]{A(t)=C \ \text{log} (1+t)}[/tex] ao longo das primeiras horas após a explosão.
Nessa fórmula, [tex]C[/tex] é uma constante que depende da energia da bomba X. Sabendo-se que, [tex]1[/tex] minuto após a explosão de uma bomba X de [tex]1[/tex] megaton de energia, o cogumelo de fumaça tem altura de [tex]6[/tex] km, determine a altura do cogumelo de fumaça desta bomba [tex]3[/tex] minutos após a explosão.
Solução
Primeiramente, se [tex]A(t)=C\cdot \log(1+t)[/tex] e [tex]A(1)=6[/tex], então:
[tex]\qquad 6=C\cdot\log(1+1)[/tex]
[tex]\qquad 6=C\cdot\log2[/tex]
[tex]\qquad C=\dfrac{6}{\log2}.[/tex]
Com isso, podemos calcular [tex]A(3)[/tex] da seguinte maneira:
[tex]\qquad A(3)=C\cdot\log(1+3)[/tex]
[tex]\qquad A(3)=\dfrac{6}{\log2}\cdot\log4 [/tex]
[tex]\qquad A(3)=6\cdot\dfrac{\log 4}{\log2}.[/tex]
Como a base dos logaritmos não está explícita, então estamos lidando com logaritmos de base decimal. De toda forma, pela propriedade de logaritmos conhecida como mudança de base, temos [tex]\dfrac{\log_c a}{\log_c b}=log_b a[/tex]. Assim, podemos reescrever a expressão da seguinte maneira:
[tex]\qquad{A(3)=6\cdot\dfrac{\log4}{\log2}=6\cdot\log_24=6\cdot 2=12.}[/tex]
Com isso, concluímos que, [tex]3[/tex] minutos após a explosão de uma bomba X com [tex]1[/tex] megaton de energia, o cogumelo de fumaça terá uma altura de [tex]12[/tex] km.
Solução elaborada pelo COM Potências de Euler, com contribuições dos moderadores do Blog.