Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Um quadrado [tex]ABCD[/tex] é dividido em dois trapézios e um triângulo retângulo. As áreas dos trapézios são [tex][ADPH]=9[/tex] e [tex][BCPH]=4[/tex]. Determine a área do triângulo retângulo [tex][ABH][/tex].
Notação: [tex][ABC\dots X][/tex] indica a área do polígono [tex]ABC\dots X[/tex].
Solução
Sabemos que [tex][ADPH]=\dfrac{(AD+PH)\cdot DP}{2}[/tex] e [tex][BCPH]=\dfrac{(BC+PH)\cdot CP}{2}[/tex]. Então,
[tex]\dfrac{[ADPH]}{[BCPH]}=\dfrac{\dfrac{(AD+PH)\cdot DP}{2}}{\dfrac{(BC+PH)\cdot CP}{2}}=\dfrac{DP}{CP}[/tex], ou seja, [tex] \dfrac{9}{4}=\dfrac{DP}{CP}.[/tex]
A partir disso, façamos [tex]DP=9x[/tex] e [tex]CP=4x[/tex], de forma que o lado do quadrado seja [tex]CD=13x[/tex].
No triângulo retângulo [tex]ABH[/tex], temos a altura [tex]HI=h[/tex] tal que [tex]h^2=9x\cdot 4x[/tex], ou seja, [tex] h=6x[/tex] e [tex]PH=7x[/tex].
Acabamos de utilizar a seguinte relação métrica do triângulo retângulo:
- o quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.
Observe que:
[tex][ADPH]=9\Rightarrow \dfrac{(13x+7x)\cdot 9x}{2}=9\Rightarrow x^2=\dfrac{1}{10}\Rightarrow x=\dfrac{\sqrt{10}}{10}[/tex].
Finalmente, a área do triângulo [tex][ABH][/tex] é dada por:
[tex][ABH]=\dfrac{(9x+4x)\cdot h}{2}=\dfrac{13x\cdot 6x}{2}=39x^2=\dfrac{39}{10}=3,9.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.