Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Quantos pares ordenados [tex](x,y)[/tex] de números reais existem tais que
[tex]\qquad \qquad (2x+3y-1)^4+x^2+y^2=2xy\,[/tex]?
Extraído do Treinamento de Olimpíadas de Matemática – Anglo SJ Rio Preto.
Solução
Observe que a igualdade [tex](2x+3y-1)^4+x^2+y^2=2xy[/tex] pode ser escrita como
[tex]\quad (2x+3y-1)^4+(x^2-2xy+y^2)=0[/tex].
Observe agora que o segundo parêntese é um quadrado perfeito, pois [tex]x^2-2xy+y^2=(x-y)^2[/tex].
Logo:
[tex]\quad (2x+3y-1)^4+(x-y)^2=0[/tex],
ou seja
[tex]\quad [(2x+3y-1)^2]^2+(x-y)^2=0[/tex].
Essa última igualdade é uma soma de dois quadrados resultando em zero; e, no conjunto dos números reais, isso ocorre apenas quando ambos os quadrados forem iguais a zero. Dessa forma, segue que:
[tex]\quad [(2x+3y-1)^2]^2=0\\
\quad (2x+3y-1)^4=0 \\
\quad 2x+3y-1=0\\
\quad 2x+3y=1\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
e
[tex]\quad(x-y)^2=0\\
\quad x-y=0\\
\quad x=y\,.\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Agora, vamos resolver o sistema formado pelas equações [tex]\textcolor{#800000}{(i)}\,[/tex] e [tex]\,\textcolor{#800000}{(ii)}:[/tex]
[tex]\begin{cases}
2x+3y=1\\
x=y\\
\end{cases}\quad[/tex].
Substituindo [tex]y[/tex] por [tex]x[/tex] na primeira equação desse sistema, obtemos [tex]2x+3x=1[/tex], de onde concluímos que [tex]x=\dfrac{1}{5}[/tex]; e, como [tex]x=y[/tex], segue que [tex]y=\dfrac{1}{5}[/tex].
Há, então, apenas um par ordenado de números reais que satisfaz à igualdade inicial: [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(x,y)=\left(\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{5}\right)%$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.