.Problema: A reta entre os arcos

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

No triângulo retângulo $ABC$ da figura abaixo com catetos de comprimento $5 \, cm$ e $12 \, cm$ , são traçados dois arcos de circunferência. Um deles com centro em $A$ e contendo $C$ , outro com centro em $B$ e, também, contendo $C$ . Eles intersectam a hipotenusa nos pontos $M$ e $N$ , respectivamente.
Qual o comprimento de $\overline {MN}$ ?

Notação

Dado um segmento definido por dois pontos genéricos, digamos $X \,$ e $\, Y$ , denotaremos o segmento por $\overline {XY}$ e o comprimento do segmento por $XY$ .

Solução

Com os dados do problema, podemos obter os comprimentos de alguns segmentos mostrados na figura. Vejamos.

Pelo Teorema de Pitágoras, temos que
$\qquad AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13.$
Assim, $\boxed{AB=13 \, cm}.$
Como $\overline {AM}$ e $\overline {AC}$ são raios do mesmo círculo, então $AM=AC=12 \, cm$ .
Com isso, $MB=AB-AM=13-12=1$ , ou seja, $\boxed{MB=1 \, cm}.$
$\overline {BN}$ e $\overline {BC}$ são raios de um mesmo círculo, logo $BN=BC=5$ . Assim, $\boxed{BN=5 \, cm}$

Dessa forma, temos que:
$\qquad \qquad MN=BN-BM=5-1=4$ ,
ou seja, $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$MN=4 \, cm$} \, .$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.