Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
Mostre que os números naturais de 1 a 16 não podem ser escritos sobre uma circunferência, de modo que a soma de quaisquer dois números vizinhos seja um quadrado perfeito.
Adaptado do Banco de Questões da OBMEP 2011.
Solução
Assim, suponhamos que todos os números naturais de [tex]1[/tex] a [tex]16[/tex] foram escritos sobre uma circunferência, de modo que a soma de quaisquer dois números vizinhos seja um quadrado perfeito.
Vamos, então, considerar números [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex] sobre a circunferência, tais que os números [tex]A[/tex] e [tex]C[/tex] são os vizinhos do número [tex]B[/tex].
Sabemos que [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex] são diferentes, e também sabemos que [tex]B+C[/tex] e [tex]B+A[/tex] são dois quadrados perfeitos diferentes.
Vamos verificar o caso em que [tex]B=16[/tex]:
- O número [tex]16[/tex] possui dois números vizinhos [tex]A[/tex] e [tex]C[/tex] diferentes; sem perda de generalidade vamos supor que [tex]A>C[/tex]. O maior valor possível para o [tex]A[/tex] é [tex]15[/tex] e o menor valor possível para o [tex]C[/tex] é [tex]1[/tex], assim [tex]16+C[/tex] e [tex]16+A[/tex] são dois quadrados perfeitos entre [tex]17[/tex] e [tex]31[/tex].
Mas entre os números [tex]17[/tex] e [tex]31[/tex] só existe um número quadrado perfeito (apenas o número [tex]25[/tex])!
Portanto, não é possível escrever os números naturais de [tex]1[/tex] a [tex]16[/tex] sobre uma circunferência, de modo que a soma de quaisquer dois números vizinhos seja um quadrado perfeito.
Solução enviada pelo Clube Eureka!, com contribuições dos Moderadores do Blog.
Participaram da discussão do problema os seguintes Clubes:
As Incógnitas da Matemática; Cabeça de Pirâmide; Clube Filhos de Gauss; Eureka!; Matemática na área; Math Error; Obmep estudos; Os Geométricos; Vim te calculei.