Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Considere os números reais [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex], [tex]d[/tex], [tex]e\, \, [/tex] tais que
[tex]\qquad\begin{cases}a+b+c+d+e=8\\a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16\end {cases}~~[/tex].
Encontre o maior valor possível para o número [tex]e[/tex].
Solução
Da primeira equação do sistema, temos que
[tex]\qquad a + b + c + d = 8-e\,[/tex],
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[tex]\qquad (a + b + c + d)^2 = (8-e)^2[/tex]
e, assim,
[tex]\qquad a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2 (ab + ac + ad + bc +bd + cd) = (8-e)^2.\,\,\,\,\,\,\,\,\textcolor{red}{(I)}[/tex]
Por outro lado, sabemos que [tex]n^2 \geq 0[/tex], para qualquer [tex]n \in \mathbb{R}[/tex]; portanto [tex](x-y)^2 \geq 0[/tex] para quaisquer números reais [tex]\, x\, [/tex] e [tex]\, y\, [/tex].
Mas observe que
[tex]\qquad(x-y)^2 \geq 0 \Leftrightarrow x^2 + y^2 – 2xy \geq 0 \Leftrightarrow\boxed{x^2 + y^2 \geq 2xy} \,\,\,\,\,\,\,\, \textcolor{red}{(II)}[/tex]
ocorrendo a igualdade se, e somente se, [tex]x = y[/tex].
Dessa forma, aplicando diversas vezes a desigualdade [tex]\textcolor{red}{(II)}[/tex], obtemos:
[tex]\quad(i) \,\,\,2ab \leq a^2 + b^2[/tex];
[tex]\quad(ii) \,\,\,2ac \leq a^2 + c^2[/tex];
[tex]\quad(iii) \,\,\,2ad \leq a^2 + d^2[/tex];
[tex]\quad(iv) \,\,\,2bc \leq b^2 + c^2[/tex];
[tex]\quad(v) \,\,\,2bd \leq b^2 + d^2[/tex];
[tex]\quad(vi) \,\,\,2cd \leq c^2 + d^2[/tex].
Somando membro a membro essas seis desigualdades, temos
[tex]\qquad2 (ab + ac + ad + bc +bd + cd) \leq 3 (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)[/tex].
Adicionando [tex]a^2 + b^2 + c^2 + d^2\, \, [/tex] a ambos os membros desta última desigualdade segue que
[tex]\quad a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2 (ab + ac + ad + bc +bd + cd) \leq 4 (a^2 + b^2 + c^2 + d^2).[/tex]
Utilizando [tex]\textcolor{red}{(I)}[/tex] temos que
[tex]\qquad (8-e)^2 \leq 4(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 )[/tex],
ou ainda,
[tex]\qquad (8-e)^2 \leq 4(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2)-4e^2[/tex] .
Utilizando a segunda equação do sistema dado, obtemos, também,
[tex]\qquad(8-e)^2 \leq 4\cdot (16)-4e^2[/tex].
Mas observe que
[tex]\qquad(8-e)^2 \leq 4 \cdot 16-4e^2\;\Leftrightarrow \; 64-16e + e^2 \leq 64-4e^2\; \Leftrightarrow\\
\qquad \Leftrightarrow \, 5e^2-16e \leq 0 \, \Leftrightarrow e \cdot(5e-16) \leq 0\,,[/tex]
ocorrendo a igualdade se, e somente se, [tex]a = b = c = d[/tex] (quando ocorre as igualdades de [tex](i)[/tex] a [tex](vi)[/tex]).
De [tex]\quad e \cdot(5e-16) \leq 0\quad[/tex] temos que [tex]\quad 0 \leq e \leq \dfrac{16}{5}[/tex].
(Será que você é capaz de justificar essa última passagem?)
Concluímos, portanto, que o maior valor de [tex]e[/tex] é [tex]\dfrac{16}{5}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participou da discussão do problema o Clube: Math Error.