.Desafio: Uma soma interessante

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

Encontre o valor de $\boxed{S= (7 + 4 \sqrt{3})^{5} + (7 – 4 \sqrt{3}) ^{5}}$ , sem expandir as potências envolvidas.

Lembretes

$\textcolor{#800000}{(1)}$ Seja $ax^{2} +bx+c=0$ uma equação quadrática, cujas raízes são $x_{1}, x_{2}$ e $a \neq 0$ . Então:
$\qquad x_{1} +x_{2} = \dfrac{-b}{a}$ ;
$\qquad x_{1} \cdot x_{2}= \dfrac{c}{a}$ .
$\textcolor{#800000}{(2)}$ $y^{n+m}=y^{n} y^{m}$ , para todo $y$ real e $n,m$ números naturais.

Solução

Faça $\boxed{z =7 + 4 \sqrt{3}}\,$ e $\,\boxed{ w =7 – 4 \sqrt{3}}\,$ e observe que:
$\qquad \qquad z + w = 14\;$ e $\;z \cdot w = 7^{2} – (4 \sqrt{3})^{2} = 49-48=1$ .
Como $\textcolor{red}{z+w = 14}\,$ e $\, \textcolor{blue}{ z \cdot w =1}$ , segue do Lembrete 1, que $z\;$ e $\; w$ são raízes da equação quadrática $x^{2}- \textcolor{red}{14}x+\textcolor{blue}{1}=0$ . Dessa forma,
$\qquad z^{2}= 14z – 1 \qquad \;\;\;\, \textcolor{#800000}{(i)}$
$\qquad w^{2}= 14w – 1. \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}$
Somando as igualdades $\textcolor{#800000}{(i)}\;$ e $\; \textcolor{#800000}{(ii)}$ obtemos:
$\qquad z^{2} +w^{2} = 14(\textcolor{red}{z +w}) – 2=14 \cdot \textcolor{red}{14} -2= 196 -2$
$\qquad \boxed{z^{2} +w^{2} = 194} .$
Em geral, para todo $k$ natural temos:
$\qquad z^{k+2} + w ^{k+2} =z^{k}z^{2} + w^{k}w^{2}, \qquad \textcolor{#800000}{(iii)}$
de acordo com o Lembrete 2.

Substituindo $\textcolor{#800000}{(i)}\;$ e $\;\textcolor{#800000}{(ii)}\;$ em $\;\textcolor{#800000}{(iii)}$ , obtemos:
$\qquad z^{k+2} + w^{k+2} = z^{k}(14z-1) + w^{k}(14w-1)$
$\qquad z^{k+2} + w^{k+2} =14 (z^{k+1} + w^{k+1}) – (z^{k}+ w^{k}). \qquad \textcolor{#800000}{(iv)}$

Fazendo $k=1$ em $\textcolor{#800000}{(iv)}\;$ , segue que:

$\qquad z^{3} + w^{3} = 14 (z^{2} + w^{2}) – (z+ w)$
$\qquad z^{3} + w^{3}=14 \cdot 194-14=2716-14$
$\qquad \boxed{z^{3} + w^{3}=2702}.$

Fazendo $k=2$ em $\textcolor{#800000}{(iv)}\;$ segue que:

$\qquad z^{4} + w^{4} = 14 (z^{3} + w^{3}) – (z^{2}+ w^{2})$
$\qquad z^{4} + w^{4}= 14 \cdot 2702-194=37828 -194$
$\qquad \boxed{z^{4} + w^{4}=37634}$ .

Fazendo $k=3$ em $\textcolor{#800000}{(iv)}\;$ segue que:

$\qquad z^{5} + w^{5} = 14 (z^{4} + w^{4}) – (z^{3}+ w^{3})$
$\qquad z^{5} + w^{5} =14 \cdot 37634- 2702$
$\qquad z^{5} + w^{5}=524174. \qquad \textcolor{#800000}{(v)}$

Finalmente, como
$\qquad S= (7 + 4 \sqrt{3})^{5} + (7 – 4 \sqrt{3}) ^{5}=z^5+w^5$ ,
segue de $\textcolor{#800000}{(v)}\;$ que $\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$S=524174$}\,.$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.