Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
(NETO, A.C.M.; Tópicos de Matemática Elementar – Números reais, volume 1, SBM Coleção do Professor de Matemática – Adaptado)
Encontre o valor de [tex]\boxed{S= (7 + 4 \sqrt{3})^{5} + (7 – 4 \sqrt{3}) ^{5}}[/tex], sem expandir as potências envolvidas.
Lembretes
[tex] \textcolor{#800000}{(1)}[/tex] Seja [tex]ax^{2} +bx+c=0[/tex] uma equação quadrática, cujas raízes são [tex]x_{1}, x_{2}[/tex] e [tex]a \neq 0[/tex]. Então:
[tex]\qquad x_{1} +x_{2} = \dfrac{-b}{a} [/tex];
[tex] \qquad x_{1} \cdot x_{2}= \dfrac{c}{a}[/tex].
[tex] \textcolor{#800000}{(2)}[/tex] [tex]y^{n+m}=y^{n} y^{m}[/tex], para todo [tex]y[/tex] real e [tex]n,m[/tex] números naturais.
Solução
Faça [tex]\boxed{z =7 + 4 \sqrt{3}}\,[/tex] e [tex]\,\boxed{ w =7 – 4 \sqrt{3}}\,[/tex] e observe que:
[tex]\qquad \qquad z + w = 14\;[/tex] e [tex]\;z \cdot w = 7^{2} – (4 \sqrt{3})^{2} = 49-48=1[/tex].
Como [tex] \textcolor{red}{z+w = 14}\,[/tex] e [tex]\, \textcolor{blue}{ z \cdot w =1}[/tex], segue do Lembrete 1, que [tex]z\;[/tex] e [tex]\; w[/tex] são raízes da equação quadrática [tex]x^{2}- \textcolor{red}{14}x+\textcolor{blue}{1}=0[/tex]. Dessa forma,
[tex]\qquad z^{2}= 14z – 1 \qquad \;\;\;\, \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
[tex] \qquad w^{2}= 14w – 1. \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Somando as igualdades [tex]\textcolor{#800000}{(i)}\;[/tex] e [tex]\; \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] obtemos:
[tex] \qquad z^{2} +w^{2} = 14(\textcolor{red}{z +w}) – 2=14 \cdot \textcolor{red}{14} -2= 196 -2 [/tex]
[tex] \qquad \boxed{z^{2} +w^{2} = 194} .[/tex]
Em geral, para todo [tex]k[/tex] natural temos:
[tex]\qquad z^{k+2} + w ^{k+2} =z^{k}z^{2} + w^{k}w^{2}, \qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
de acordo com o Lembrete 2.
Substituindo [tex]\textcolor{#800000}{(i)}\;[/tex] e [tex]\;\textcolor{#800000}{(ii)}\;[/tex] em [tex]\;\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex], obtemos:
[tex]\qquad z^{k+2} + w^{k+2} = z^{k}(14z-1) + w^{k}(14w-1) [/tex]
[tex]\qquad z^{k+2} + w^{k+2} =14 (z^{k+1} + w^{k+1}) – (z^{k}+ w^{k}). \qquad \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex]
- Fazendo [tex]k=1[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(iv)}\;[/tex], segue que:
- Fazendo [tex]k=2[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(iv)}\;[/tex] segue que:
- Fazendo [tex]k=3[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(iv)}\;[/tex] segue que:
[tex]\qquad z^{3} + w^{3} = 14 (z^{2} + w^{2}) – (z+ w) [/tex]
[tex]\qquad z^{3} + w^{3}=14 \cdot 194-14=2716-14 [/tex]
[tex]\qquad \boxed{z^{3} + w^{3}=2702}.[/tex]
[tex]\qquad z^{4} + w^{4} = 14 (z^{3} + w^{3}) – (z^{2}+ w^{2})[/tex]
[tex]\qquad z^{4} + w^{4}= 14 \cdot 2702-194=37828 -194 [/tex]
[tex]\qquad \boxed{z^{4} + w^{4}=37634}[/tex].
[tex]\qquad z^{5} + w^{5} = 14 (z^{4} + w^{4}) – (z^{3}+ w^{3})[/tex]
[tex]\qquad z^{5} + w^{5} =14 \cdot 37634- 2702[/tex]
[tex]\qquad z^{5} + w^{5}=524174. \qquad \textcolor{#800000}{(v)}[/tex]
Finalmente, como
[tex]\qquad S= (7 + 4 \sqrt{3})^{5} + (7 – 4 \sqrt{3}) ^{5}=z^5+w^5[/tex],
segue de [tex]\textcolor{#800000}{(v)}\;[/tex] que [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$S=524174$}\,.[/tex]
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