.Desafio: Um triângulo, suas alturas e as raízes de uma equação cúbica

Problema
(Indicado a partir do 3º ano do E. M.)

(Olimpíadas BULGÁRIA) Os comprimentos das alturas de um triângulo $ABC$ são as três soluções da equação cúbica $\boxed{x^3+kx^2+ lx-m=0}$.
Determine o raio do círculo inscrito no triângulo $ABC$.

Solução

Sem perda de generalidade, podemos supor que o triângulo $ABC$ seja acutângulo, conforme mostrado na figura a seguir.
Na figura, estamos supondo que os segmentos $\overline{AE}$, $\overline{BD}$ e $\overline{CF}$ são as alturas do triângulo $ABC$ relativas, respectivamente, aos lados $\overline{BC}$, $\overline{AC}$ e $\overline{AB}\, .$

Se considerarmos que $x_1$, $x_2$ e $x_3$ são as raízes da equação cúbica $\boxed{x^3+kx^2+ lx-m=0}$, utilizando as relações de Girard, obtemos que:
$\qquad \textcolor{#800000}{(i)}$ $x_1+x_2+x_3=-k$;
$\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}$ $x_1\cdot x_2+ x_1\cdot x_3+ x_2\cdot x_3=l$;
$\qquad \textcolor{#800000}{(iiii)}$ $x_1\cdot x_2\cdot x_3=m$.

$\textcolor{#800000}{(iv)}$ Sem perda de generalidade, podemos considerar, em acordo com as informações do problema, que:
$\qquad AE= x_1$;
$\qquad BD = x_2$;
$\qquad CF = x_3$ .

Considerando a área $S$ do triângulo $ABC$, observe que podemos calculá-la das seguintes maneiras:
$\qquad \textcolor{#800000}{(v)}$ $S = p\cdot r$ , onde:
$\qquad \qquad r$ é o raio do círculo inscrito no triângulo $ABC$,
$\qquad \qquad p$ é o semiperímetro do triângulo $ABC$, ou seja, $2p=AC+ BC+ AB\, .$

$\qquad \textcolor{#800000}{(vi)}$ $S = \dfrac {(base) \cdot (altura)} {2}$, podendo aqui considerar três situações possíveis, conforme a afirmação $\textcolor{#800000}{(iv)}$:

$\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(1)}$ $S= \dfrac {x_1\cdot BC} {2}$, donde $BC= \dfrac {2S} {x_1}$;

$\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(2)}$ $S= \dfrac {x_2\cdot AC} {2}$, donde $AC= \dfrac {2S} {x_2}$;

$\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(3)}$ $S= \dfrac {x_3\cdot AB} {2}$, donde $AB= \dfrac {2S} {x_3}$.

Somando as equações $\textcolor{#800000}{(1)}$, $\textcolor{#800000}{(2)}$ e $\textcolor{#800000}{(3)}$ de $\textcolor{#800000}{(vi)}$, obtemos:
$\, \\ \qquad \underbrace{BC + AC + AB}_{perímetro=2p} = \dfrac {2S} {x_1}\ + \dfrac {2S} {x_2}\ + \dfrac {2S} {x_3}\\ \qquad \cancel{2}p\ = {\cancel{2}S}\cdot \left(\dfrac {1} {x_1}\ + \dfrac {1} {x_2}\ + \dfrac {1} {x_3}\right)\\ \qquad p\ = {S}\cdot \left(\dfrac {x_2\cdot x_3+ x_1\cdot x_3+ x_1\cdot x_2} {x_1\cdot x_2\cdot x_3}\right).$

Por $\textcolor{#800000}{(v)}$, concluímos que $\dfrac {S} {r} = p$ e, substituindo essa expressão na equação anterior, segue que:
$\qquad \dfrac {\cancel{S}} {r} = {\cancel{S}}\cdot \left(\dfrac {x_2\cdot x_3+ x_1\cdot x_3+ x_1\cdot x_2} {x_1\cdot x_2\cdot x_3}\right)\\ \qquad \dfrac {1} {r} = \dfrac {x_2\cdot x_3+ x_1\cdot x_3+ x_1\cdot x_2} {x_1\cdot x_2\cdot x_3}\\ \qquad \dfrac {1} {r} = \dfrac {x_1\cdot x_2+ x_1\cdot x_3+ x_2\cdot x_3} {x_1\cdot x_2\cdot x_3}\\ \,$
Substituindo $\textcolor{#800000}{(ii)}$ e $\textcolor{#800000}{(iii)}$ na equação acima:
$\qquad \dfrac {1} {r} = \dfrac {l} {m}\\ \qquad r\ = \dfrac {m} {l}.\\ \,$

• Conclusão: O raio do círculo inscrito no triângulo$ABC$ é igual à razão $\dfrac {m} {l}$.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.