Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Na figura abaixo, determine a medida [tex]R[/tex] do raio do círculo de centro [tex]C[/tex], onde [tex]GI=18[/tex], [tex]IJ=6[/tex], [tex]FJ=13[/tex] e os ângulos em [tex]I[/tex] e [tex]J[/tex] são retos.
Solução
Observe a figura:
Primeiro, prolongamos [tex]\overline{GI}[/tex] até tocar a circunferência em [tex]M[/tex] e prolongamos [tex]\overline{JI}[/tex] até tocar a circunferência em [tex]N[/tex]. Por [tex]C[/tex], traçamos o segmento [tex]\overline{CL}[/tex] perpendicular a [tex]\overline{GM}[/tex] e [tex]\overline{FJ}[/tex], e, também [tex]\overline{CO}[/tex] perpendicular a [tex]\overline{JN}[/tex].
O ponto [tex]L[/tex] é médio da corda [tex]\overline{FJ}[/tex], assim como [tex]K[/tex] é médio da corda [tex]\overline{GM}[/tex] e [tex]O[/tex] é médio da corda [tex]\overline{JN}[/tex]. Seja [tex]P[/tex] o ponto sobre [tex]\overline{GM}[/tex] tal que [tex]KP=LF[/tex].
Assim, [tex]PG=IG-IP=18-13=5=IM[/tex], por simetria. Utilizando a relação métrica na circunferência que nos diz que, quando duas cordas se cruzam no interior da circunferência, o produto dos segmentos formados em uma corda é igual ao produto dos segmentos da outra corda, temos:
[tex]\qquad JI\cdot IN=MI\cdot IG,[/tex]
[tex]\qquad 6\cdot IN=5\cdot 18,[/tex]
[tex]\qquad IN=15.[/tex]
Por outro lado, [tex]OI=\dfrac{NJ}{2}-IJ=\dfrac{15+6}{2}-6=\dfrac{9}{2}=CK.[/tex]
Finalmente, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [tex]CKM[/tex], obtemos:
[tex]\qquad CM^2=CK^2+MK^2,[/tex]
[tex]\qquad CM^2=\left(\dfrac{9}{2}\right)^2+\left(5+\dfrac{13}{2}\right)^2,[/tex]
[tex]\qquad CM^2=\left(\dfrac{9}{2}\right)^2+\left(\dfrac{23}{2}\right)^2,[/tex]
[tex]\qquad CM^2=\dfrac{81}{4}+\dfrac{529}{4}=\dfrac{610}{4},[/tex]
[tex]\qquad CM=R=\dfrac{\sqrt{610}}{2}.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog
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