.Desafio: Quadrado Perfeito

Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)


Sabendo que os números inteiros [tex]a,\, b,\, c[/tex] satisfazem à relação [tex]a+b+c=0[/tex], mostre que o número [tex]2(a^4+b^4+c^4)[/tex] é um quadrado perfeito.

 

Solução


Vamos elevar ao quadrado a expressão [tex]a+b+c=0[/tex]. Assim, teremos a seguinte sequência de igualdades equivalentes:
[tex]\quad\\
\quad(a+b+c)^2=(0)^2\\
\quad a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=0 \\
\quad a^2+b^2+c^2=-2(ab+ac+bc)\\
\quad (a^2+b^2+c^2)^2=(-2(ab+ac+bc))^2 \\
\quad a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)=4(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2) \\
\quad a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2+8abc(a+b +c) \\
\quad a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2 \\
\quad 2(a^4+b^4+c^4)= a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2 \\
\quad 2(a^4+b^4+c^4)= (a^2+b^2+c^2)^2.\\
\;[/tex]
Como [tex]k=a^2+b^2+c^2~[/tex] é um número natural, segue que
[tex]\qquad 2(a^4+b^4+c^4)=k^2[/tex], com [tex]k \in \mathbb{N}[/tex],
e, portanto, o número [tex]2(a^4+b^4+c^4)[/tex] é, de fato, um quadrado perfeito.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

 

Participaram da discussão do problema os seguintes Clubes: Einstens do Leonor II; Math Error; Os Pitagóricos.

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