.Desafio: Quadrado Perfeito

Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)

Sabendo que os números inteiros $a,\, b,\, c$ satisfazem à relação $a+b+c=0$, mostre que o número $2(a^4+b^4+c^4)$ é um quadrado perfeito.

Solução

Vamos elevar ao quadrado a expressão $a+b+c=0$. Assim, teremos a seguinte sequência de igualdades equivalentes:
$\quad\\ \quad(a+b+c)^2=(0)^2\\ \quad a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=0 \\ \quad a^2+b^2+c^2=-2(ab+ac+bc)\\ \quad (a^2+b^2+c^2)^2=(-2(ab+ac+bc))^2 \\ \quad a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)=4(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2) \\ \quad a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2+8abc(a+b +c) \\ \quad a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2 \\ \quad 2(a^4+b^4+c^4)= a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2 \\ \quad 2(a^4+b^4+c^4)= (a^2+b^2+c^2)^2.\\ \;$
Como $k=a^2+b^2+c^2~$ é um número natural, segue que
$\qquad 2(a^4+b^4+c^4)=k^2$, com $k \in \mathbb{N}$,
e, portanto, o número $2(a^4+b^4+c^4)$ é, de fato, um quadrado perfeito.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Participaram da discussão do problema os seguintes Clubes: Einstens do Leonor II; Math Error; Os Pitagóricos.