Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Um gatinho subiu numa escada de 12 metros de comprimento que estava apoiada no piso e numa parede de tal forma que o ângulo de inclinação em relação ao piso é de 60°. Quando o gatinho chegou na metade da escada, ele parou, e a mesma começou a escorregar no sentido das setas da figura.
Desprezando o tamanho do gato, se a escada deslizar até a horizontal e o gato permanecer imóvel, qual será a trajetória da queda do gato até chegar ao chão? Justifique sua resposta.
Lembretes
✐ A mediana de um triângulo retângulo relativa à hipotenusa mede metade da hipotenusa.
✐ No estudo da trigonometria, dois dos denominados ângulos especiais ou ângulos fundamentais são os ângulos com medidas iguais a [tex]30^\circ[/tex] e [tex]60^\circ[/tex]. Os senos e cossenos desses ângulos são:
[tex]\, \, \qquad sen\, 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}\qquad\qquad\, \, \, \, cos\, 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]\, \, \qquad sen\, 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\qquad\qquad[/tex] [tex] cos\, 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}[/tex] .
Solução
A partir da figura a seguir, vamos analisar a trajetória percorrida pelo gatinho ao longo de sua queda.
- A posição inicial da escada é representada na figura pelo triângulo retângulo AOM”. Nessa posição, o gatinho está no ponto médio do segmento AM”; denominaremos esse ponto por M.
- Quando a escada começa a escorregar, ela passa para uma posição intermediária, representada na figura pelo triângulo retângulo CBO. Na figura, o gatinho está no ponto médio do segmento CB, denominado M’.
- No momento em que a escada estiver totalmente no chão, o ponto médio dessa posição será M”.
Como as distâncias de M, M’ e M’’ em relação ao ponto O são todas iguais a [tex]6\,m[/tex] (Você saberia justificar essa afirmação? As informações dos Lembretes podem ajudar…), a trajetória percorrida pelo gatinho ao longo da queda da escada será um arco de circunferência de [tex]60° [/tex] com centro em O, conforme mostra a figura abaixo.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog .
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Com o aparato abaixo você pode visualizar a resposta do problema.
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Um applet para ajudar
Instruções:
1) Para movimentar manualmente a escada, clique no ponto E, mantenha o mouse pressionado e movimente-o horizontalmente, da esquerda para a direita. (Se você estiver utilizando um celular ou um tablet, basta tocar levemente no ponto E e fazer o movimento.)
2) Para movimentar automaticamente a escada, clique no ponto E com o botão direito do mouse e selecione a opção Animação na janelinha que irá se abrir.
2.1 Para pausar animação, basta clicar no ícone || que aparece no canto inferior esquerdo do aplicativo durante a animação.
2.2 Para reiniciar a animação, clique no ícone ► que irá aparecer no canto inferior esquerdo do aplicativo quando este estiver pausado.
3) Para repetir o movimento de queda do gatinho, clique sobre as setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do aparato e repita uma das instruções anteriores.
OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra
Observamos que o applet ajuda na visualização da resposta;
mas, matematicamente, não substitui sua demonstração.