Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Resolva a equação [tex]x^2+\dfrac{x^2}{(x+1)^2}=3[/tex], sabendo que [tex]x \in \mathbb{R}[/tex].
Atenção:
A linguagem e as ferramentas de divisibilidade não são adequadas para este problema, uma vez que a equação deve ser resolvida no conjunto dos números reais e não no conjunto dos números inteiros.
Solução 1
Observe que, de [tex]x^2+\dfrac{x^2}{(x+1)^2}=3[/tex], segue que:
[tex]\qquad x^2\left(1+\dfrac{1}{(x+1)^2}\right)=3[/tex]
[tex]\qquad x^2\left(\dfrac{x^2+2x+2}{(x+1)^2}\right)=3[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{x^4+x^2(x+1)\cdot2}{(x+1)(x+1)}=3[/tex]
[tex]\qquad x^4+2x^2(x+1)=3(x+1)(x+1)=3(x+1)^2[/tex]. (I)
Por outro lado,
[tex]x^4+2x^2(x+1)+ (x+1)^2=x^4+2x^3+3x^2+2x+1=(x^2+x+1)^2[/tex]. (II)
Assim, por (I) e por (II) segue que:
[tex]\quad (x^2+x+1)^2\stackrel{ \textcolor{#FF0000}{\small{(II)}}}{=} x^4+2x^2(x+1)+ (x+1)^2=\left[ x^4+2x^2(x+1) \right]+ (x+1)^2\stackrel{ \textcolor{#FF0000}{\small{(I)}}}{=} \\
\quad \stackrel{ \textcolor{#FF0000}{\small{(I)}}}{=} \left[3(x+1)^2 \right]+(x+1)^2=4(x+1)^2\,.[/tex]
Logo, [tex](x^2+x+1)^2=4(x+1)^2[/tex], donde [tex]\sqrt{(x^2+x+1)^2}=\sqrt{4(x+1)^2}[/tex], ou ainda, [tex]\left|(x^2+x+1)\right|=\left|2(x+1)\right|[/tex] (*)
De [tex]\left|(x^2+x+1)\right|=\left|2(x+1)\right|[/tex], segue que [tex]x^2+x+1=\pm2(x+1)[/tex], ou seja, temos:
[tex]\qquad \qquad \boxed{x^2+x+1=2(x+1)}\;[/tex] ou [tex]\;\boxed{x^2+x+1=-2(x+1)}\;.[/tex]
Pelo até aqui exposto, os valores procurados para o número real [tex]x[/tex] satisfazem a equação [tex]x^2+x+1=2(x+1)[/tex] ou a equação [tex]x^2+x+1=-2(x+1)[/tex]. Mas essas equações são, respectivamente, equivalentes a [tex]x^2-x-1=0~[/tex] e [tex]~x^2+3x+3=0[/tex]; assim, vamos calcular as raízes reais dessas duas equações do segundo grau!
Observe que:
- as raízes da equação [tex]x^2-x-1=0~[/tex] são:
[tex]\quad \quad x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}[/tex]; - as raízes da equação [tex]~x^2+3x+3=0[/tex] são:
[tex]\quad \quad x=\dfrac{-3\pm\sqrt{9-12}}{2}=\dfrac{-3\pm\sqrt{-3}}{2}[/tex];
no entanto, [tex]\sqrt{-3\,}[/tex] não é um número real.
Portanto, as soluções para o problema proposto são:
[tex]\qquad\qquad \boxed{{\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{5}}{2}}_~}\quad[/tex] e [tex]\quad \boxed{{\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{2}}_~}.[/tex]
(*) ATENÇÃO: [tex]\sqrt{a^2}=|a|[/tex], pois, por definição, a raiz quadrada real de um número não negativo é também um número não negativo.
Assim:
[tex]\sqrt{4\, }=\sqrt{2^2\,}=|2|=2[/tex] (e não [tex]\pm2[/tex]);
[tex]\sqrt{(-2)^2\,}=|-2|=2[/tex].
Voltaremos a falar sobre esse assunto….
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Sabemos que
[tex]\quad a^2+b^2=(a-b)^2+2ab.[/tex]
Deste modo, podemos reescrever a equação original da seguinte forma:
[tex]\quad x^2+\dfrac{x^2}{(x+1)^2}=3\\
\quad \left(x-\dfrac{x}{x+1}\right)^2+2\cdot x\cdot \dfrac{x}{x+1}=3 \\
\quad \left(\dfrac{x^2+x-x}{x+1}\right)^2+2\cdot \dfrac{x^2}{x+1}=3 \\
\quad \left(\dfrac{x^2}{x+1}\right)^2+2\cdot \dfrac{x^2}{x+1}=3.[/tex]
Façamos, agora, [tex]\dfrac{x^2}{x+1}=k[/tex] e obteremos a equação [tex]~k^2+2k-3=0[/tex].
Resolvida essa equação, temos que [tex]k=-3[/tex] ou [tex]k=1[/tex] e, então, devemos analisar dois casos:
- Se [tex]k=-3[/tex], então [tex] \dfrac{x^2}{x+1}=-3[/tex] e já sabemos, pela resolução anterior, que essa equação não tem raízes reais.
- Se [tex]k=1[/tex], então [tex] \dfrac{x^2}{x+1}=1[/tex] e também sabemos, pela resolução anterior, que essa equação tem duas raízes reais distintas: [tex] x=\dfrac{1\pm\sqrt{5}~}{2}.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.