Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Em uma cidade, as pessoas falam a verdade com probabilidade [tex]\dfrac{1}{3}[/tex]. Suponha que A faz uma afirmação e D diz que C diz que B diz que A falou a verdade.
Qual é a probabilidade de que A tenha falado a verdade?
Extraído de OBM.
Solução
Como há quatro pessoas e cada uma pode falar a verdade ou não, há, pelo princípio multiplicativo, [tex]2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16[/tex] possibilidades. Além disso, como há probabilidade [tex]\dfrac{1}{3}[/tex] de uma pessoa falar a verdade, então há probabilidade [tex]\dfrac{2}{3}[/tex] de uma pessoa mentir.
Vamos construir uma tabela (onde [tex]V[/tex] representa que a pessoa diz a verdade e [tex]\overline{V}[/tex] representa que a pessoa não diz a verdade) com esses casos e suas respectivas probabilidades de ocorrerem:
\hline
\text{Casos} & A & B & C & D & \text{Probabilidade} \\ \hline
1^\circ &V&V&V&V&\dfrac{1}{81} \\ \hline
2^\circ &V&V&V&\overline{V}&\dfrac{2}{81} \\ \hline
3^\circ &V&V&\overline{V}&V&\dfrac{2}{81} \\ \hline
4^\circ &V&\overline{V}&V&V&\dfrac{2}{81} \\ \hline
5^\circ &\overline{V}&V&V&V&\dfrac{2}{81} \\ \hline
6^\circ &V&V&\overline{V}&\overline{V}&\dfrac{4}{81} \\ \hline
7^\circ &V&\overline{V}&V&\overline{V}&\dfrac{4}{81} \\ \hline
8^\circ &\overline{V}&V&V&\overline{V}&\dfrac{4}{81} \\ \hline
9^\circ &V&\overline{V}&\overline{V}&V&\dfrac{4}{81} \\ \hline
10^\circ &\overline{V}&V&\overline{V}&V&\dfrac{4}{81} \\ \hline
11^\circ &\overline{V}&\overline{V}&V&V&\dfrac{4}{81} \\ \hline
12^\circ &V&\overline{V}&\overline{V}&\overline{V}&\dfrac{8}{81} \\ \hline
13^\circ &\overline{V}&V&\overline{V}&\overline{V}&\dfrac{8}{81} \\ \hline
14^\circ &\overline{V}&\overline{V}&V&\overline{V}&\dfrac{8}{81} \\ \hline
15^\circ &\overline{V}&\overline{V}&\overline{V}&V&\dfrac{8}{81} \\ \hline
16^\circ &\overline{V}&\overline{V}&\overline{V}&\overline{V}&\dfrac{16}{81} \\ \hline
\end{array}[/tex]
Desses [tex]16[/tex] casos, o [tex]1^\circ [/tex], [tex]6^\circ [/tex], [tex]7^\circ [/tex], [tex]8^\circ [/tex], [tex]9^\circ [/tex], [tex]10^\circ [/tex], [tex]11^\circ[/tex] e [tex]16^\circ [/tex] são os casos em que A faz uma afirmação e D diz que C diz que B diz que A falou a verdade.
A soma das probabilidades desses oito casos é [tex]\dfrac {41}{81}[/tex].
Desses oito casos, A diz a verdade nos [tex]1^\circ [/tex], [tex]6^\circ [/tex], [tex]7^\circ [/tex] e [tex]9^\circ [/tex].
A soma das probabilidades desses quatro casos é [tex]\dfrac {13}{81}[/tex].
Portanto, a probabilidade desejada é:
[tex]\qquad P=\dfrac{\frac{13}{81}}{\frac{41}{81}}=\dfrac{13}{41}[/tex].
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