.Desafio: Boomerang

Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)

No boomerang mostrado na figura abaixo estão indicados os comprimentos $AB=15$, $AE=5$ e $ED=10$. Os ângulos retos também estão destacados na figura.

Calcule o comprimento $x$ do segmento $\overline{AC}$.

Solução

Inicialmente, vamos construir os segmentos $\overline{CM}$, mediana do triângulo $ACB$, e $\overline{CN}$, mediana do triângulo $CED$.
Pelo Lembrete (01), temos que $CM=MA=MB=7,5\,$ e $\,CN=EN=ND=5$.

A figura anterior indica que os pontos $N$, $C$ e $M$ estão alinhados; e como essa é uma informação que nos ajudará na solução do problema, vamos tentar provar esse alinhamento.
Observe que se os pontos $N$, $C$ e $M$ estiverem de fato alinhados, então o ponto $C$ pertence à hipotenusa do triângulo retângulo $MAN$. Para fazer tal verificação vamos, inicialmente, usar o Teorema de Pitágoras para calcular a medida do segmento $\overline{MN}$ (hipotenusa do triângulo retângulo):
$\qquad (NM)^{2}=(AN)^{2}+(AM)^{2}\\ \qquad (NM)^{2}=10^{2}+7,5^{2}=156,25=12,5^{2}.$
Dessa forma, $NM=12,5\text{ cm}$.
Mas
$\qquad NC+CM=5+7,5=12,5$;
logo, $NC+CM=NM$ e, portanto, os pontos $N$, $M$ e $C$ são colineares.

Por outro lado, como o triângulo $MAN$ é retângulo, podemos descobrir o cosseno do ângulo $A\hat{N}M$, cuja medida denotaremos por $\alpha$, dividindo a medida do cateto adjacente pelo comprimento da hipotenusa (relações trigonométricas no triângulo retângulo).

Assim, $cos \; \alpha =\dfrac{10}{12,5}=\dfrac{4}{5}$.
Finalmente, pelo Lembrete (02), podemos aplicar a lei dos cossenos no triângulo $ACN$. Dessa forma:
$\qquad x^{2}=10^{2}+5^{2}-2\cdot10\cdot5\cdot cos \; \alpha$
$\qquad x^{2}=100+25-2\cdot10\cdot5\cdot \dfrac{4}{5}$
$\qquad x^{2}=125-80=45$
$\qquad x=\pm 3\sqrt{5}$.
Como $x$ é um comprimento, $x \gt 0$; portanto, $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=3\sqrt{5}$}$.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.