.Sala de Estudo: Setor e segmento circular

Setor Circular

De modo geral, o arco utilizado na definição de um setor circular é o dito “arco menor”; assim, quase todas as nossas figuras mostram setores circulares definidos por arcos menores, mas as conclusões aqui estabelecidas são válidas para setores circulares definidos por arcos quaisquer. Observe que, em um mesmo círculo, a soma das áreas do setor circular maior e do setor circular menor definidos pelos pontos [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] é exatamente a área do próprio círculo.

Perceba que os raios [tex]OA[/tex] e [tex]OB[/tex] e o centro [tex]O[/tex] definem um ângulo central e um arco. Assim, podemos associar a cada setor circular três medidas: o comprimento [tex]R[/tex] do raio do círculo, a medida [tex]\alpha[/tex] do ângulo central e o comprimento [tex]l [/tex] do arco. Sendo uma região do plano, o setor circular tem uma área que pode ser calculada se conhecemos a medida [tex]R[/tex] e a medida [tex]\alpha[/tex] (em radianos ou em graus). Se conhecermos o comprimento do arco definido pelos pontos [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], além do comprimento [tex]R[/tex] do raio, também é possível obtermos a área do setor circular.

✐ Área de um setor circular de raio [tex]R[/tex] e [tex]\alpha[/tex] radianos
[tex]\qquad \qquad\boxed{A_{setor}=\dfrac{\alpha R^{ \, 2}}{2}}[/tex]

✐ Área de um setor circular de raio [tex]R[/tex] e [tex]\alpha[/tex] graus
[tex]\qquad \qquad \boxed{A_{setor}=\dfrac{\pi R^{ \, 2} \alpha}{360}}[/tex]

✐ Área de um setor circular de raio [tex]R[/tex] e comprimento de arco [tex]l[/tex]
[tex]\qquad \qquad\boxed{A_{setor}=\dfrac{l\cdot R}{2}}[/tex]

Para saber de onde vieram essas três fórmulas, clique no botão abaixo.

O setor circular é uma parte do círculo que o define e sua área depende diretamente da medida do ângulo central ou do comprimento de arco a ele associado. Podemos, então, calcular a área de um setor circular aplicando uma regra de três simples já que esta área será uma porcentagem da área do círculo que o define: [tex]\pi R^2 [/tex]

✐ Área de um setor circular de raio [tex]R[/tex] e [tex]\alpha[/tex] radianos
A regra de três simples

[tex]2\pi \, rad[/tex]	————————————–	[tex]\pi R^2[/tex]
[tex]\alpha \, rad [/tex]	————————————–	[tex]A_{setor}[/tex]

garante que [tex]\boxed{A_{setor}=\dfrac{\alpha R^{ \, 2}}{2}}[/tex]

✐ Área de um setor circular de raio [tex]R[/tex] e [tex]\alpha[/tex] graus
A regra de três simples

[tex]360^{\circ}[/tex]	————————————–	[tex]\pi R^2[/tex]
[tex]\alpha^{\circ} [/tex]	————————————–	[tex]A_{setor}[/tex]

garante agora que [tex]\boxed{A_{setor}=\dfrac{\pi R^{ \, 2} \alpha}{360}}[/tex]

✐ Área de um setor circular de raio [tex]R[/tex] e comprimento de arco [tex]l[/tex]
Mais uma regra de três simples:

[tex]2\pi R[/tex]	————————————–	[tex]\pi R^2[/tex]
[tex]l [/tex]	————————————–	[tex]A_{setor}[/tex]

Temos, agora, que [tex]\boxed{A_{setor}=\dfrac{l\cdot R}{2}}[/tex]

Achou a última fórmula parecida com a da área de um triângulo?
Então, clique no botão abaixo.

Segmento Circular

De modo geral, o arco utilizado na definição de um segmento circular é também o “arco menor”; assim, quase todas as nossas figuras mostram setores circulares definidos por arcos menores. Observe que, em um mesmo círculo, a soma das áreas do segmento circular maior e do segmento circular menor definidos pelos pontos [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] é igual à área do próprio círculo.

Perceba que os pontos [tex]O[/tex], [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] definem os raios [tex]OA[/tex] e [tex]OB[/tex] e um ângulo central. Assim, podemos associar a cada segmento circular duas medidas: o comprimento [tex]R[/tex] do raio do círculo e a medida [tex]\alpha[/tex] do ângulo central. Sendo também uma região do plano, o segmento circular tem uma área que pode ser calculada se conhecemos a medida [tex]R[/tex] e a medida [tex]\alpha[/tex] em radianos.

✐ Área de um segmento circular de raio [tex]R[/tex] e [tex]\alpha[/tex] radianos
[tex]\qquad \qquad \boxed{A_{segm}=\dfrac{R^{ \, 2}}{2}\left(\alpha-sen \, \alpha\right)}[/tex]

Para saber de onde veio essa fórmula, clique no botão abaixo.

Vejamos como obter a área do segmento circular.
Observe que a área do segmento circular é dada pela diferença entre a área do setor circular e a área do triângulo [tex] OBC[/tex].

Assim, [tex]\acute{A}rea=A_1-A_2[/tex], onde

• [tex]\acute{A}rea[/tex]: área do segmento circular;
• [tex] A_1[/tex]: área do setor circular;
• [tex] A_2[/tex]: área do triângulo [tex] OBC[/tex].

Já sabemos que [tex]A_1=\dfrac{\alpha R^2}{2}[/tex]; assim, basta encontrarmos [tex]A_2[/tex]. Então, vamos lá!
Note que [tex]A_2[/tex] é a área de um triângulo, então [tex]A_2=\dfrac{base \times altura}{2}[/tex].
Observe a próxima figura e siga a dedução.

Como [tex]A_2=\dfrac{R \times h}{2} [/tex], precisamos obter uma expressão para [tex]h[/tex] em termos dos dados conhecidos: [tex]R[/tex] e [tex]\alpha[/tex]. Como o triângulo [tex]ODB[/tex] é retângulo, então [tex]sen(\pi-\alpha)=\dfrac{h}{R} \, [/tex] e, assim, [tex]\quad \boxed{h= R \, sen(\pi-\alpha)}[/tex]. Mas [tex]\alpha[/tex] e [tex]\pi -\alpha[/tex] são medidas de ângulos suplementares, logo [tex]\quad sen \, \alpha=sen \, (\pi -\alpha)[/tex].

Dessa forma, [tex]h= R \, sen \, \alpha[/tex] e, portanto: [tex]\quad A_2 =\dfrac{R \times h}{2}[/tex] [tex]\quad A_2 =\dfrac{R \times R sen \, \alpha}{2}[/tex] [tex]\quad A_2 =\dfrac{R^2 sen \, \alpha}{2}[/tex]

Observe que se o ângulo [tex]\alpha[/tex] fosse agudo, a altura [tex]h= R \, sen \, \alpha[/tex] do triângulo [tex]ABO[/tex] seria mais facilmente obtida; observe: [tex]\quad sen \, \alpha =\dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}[/tex] [tex]\quad sen \, \alpha= \dfrac{h}{R} [/tex] [tex]\quad h= R \, sen \, \alpha[/tex]

Pronto, finalmente podemos calcular a área do segmento circular:
[tex]\quad \acute{A}rea \, \, = A_1-A_2 [/tex]

[tex]\qquad \qquad =\dfrac{\alpha R^{ \, 2}}{2}-\dfrac{R^{ \, 2} sen \, \alpha}{2}[/tex]

[tex]\qquad \qquad =\dfrac{R^{ \, 2}}{2}\left(\alpha- sen \, \alpha\right).[/tex]

Portanto, [tex]\boxed{{A_{segm}=\dfrac{R^{ \, 2}}{2}\left(\alpha-sen \, \alpha\right)}}[/tex]