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Problema
(Indicado a partir da 2ª série E. M.)
Em uma sala com [tex]11[/tex] estudantes, um professor decidiu aplicar um trabalho dividindo aleatoriamente a turma em três grupos de [tex]3[/tex] estudantes e um grupo de [tex]2[/tex] estudantes.
Sabendo que na turma há um casal de namorados, qual é a probabilidade de que o mesmo faça o trabalho junto?
Extraído de IME.
AJUDAS
✏ Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo: Se
- uma decisão D1 puder ser tomada de [tex] m_1 [/tex] maneiras distintas,
- uma decisão D2 puder ser tomada de [tex] m_2 [/tex] maneiras distintas,
- [tex]\cdots[/tex]
- uma decisão Dk puder ser tomada de [tex]m_k [/tex] maneiras distintas e
- todas essas decisões forem independentes entre si (isto é, a escolha de uma não muda a quantidade de possibilidades para a escolha de outra),
então o número total de maneiras de tomarmos sucessivamente essas [tex]k[/tex] decisões é igual ao produto
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1\times m_2 \times \cdots \times m_k} \, .[/tex]
✏ Princípio Aditivo: Se
- uma decisão D1 puder ser tomada de [tex] m_1 [/tex] maneiras distintas,
- uma decisão D2 puder ser tomada de [tex] m_2 [/tex] maneiras distintas e
- essas duas decisões forem independentes entre si (isto é, a escolha de uma não muda a quantidade de possibilidades para a escolha de outra),
então a quantidade de maneiras em que as [tex]2[/tex] decisões podem ser tomadas uma de cada vez é
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1+ m_2} \, .[/tex]
✏ A probabilidade de um evento ocorrer em um modelo com espaço amostral finito e equiprovável é calculada por:
| Probabilidade[tex]\;\;[/tex] = | número de casos favoráveis | . |
| número de casos possíveis |
✏ Uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto é escolhê-los levando-se em consideração apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles foram escolhidos ou apresentados. Esse tipo de agrupamento de elementos é denominado uma Combinação simples. Especificamente, quando escolhemos [tex]r[/tex] dentre [tex]n[/tex] elementos de um conjunto dessa forma, dizemos que estamos definindo uma Combinação simples de [tex]n[/tex] elementos tomados [tex]r[/tex] a [tex]r[/tex].
E o legal é que, dado um conjunto finito, podemos determinar quantos agrupamentos desse tipo podemos fazer, sem que precisemos exibi-los.
- O número de Combinações simples de [tex]n[/tex] elementos, tomados [tex]r[/tex] a [tex]r[/tex], é denotado por [tex]C_{n\, ,\, r}[/tex] ou [tex]C_n^r[/tex] e assim definido:
[tex]C_{n\, ,\, r}=C_n^r=\dfrac{n!}{(n-r)!\, r!} \text{, com } n,r \in\mathbb{N} \text{ e }\,0 \lt r\leqslant n[/tex].
Solução
Inicialmente, vamos calcular o número de maneiras de dividir esses estudantes em três grupos de [tex]3[/tex] e um grupo de [tex]2[/tex]:
- para o primeiro grupo de três temos: [tex]C_{11}^{3}[/tex] opções;
- para o segundo grupo de três temos: [tex]C_{8}^{3}[/tex] opções;
- para o terceiro grupo de três temos: [tex]C_{5}^{3}[/tex] opções e
- para o grupo de dois temos: [tex]C_{2}^{2}[/tex] possibilidades.
Pelo Princípio Multiplicativo, teremos [tex]C_{11}^{3}\cdot C_{8}^{3}\cdot C_{5}^{3}\cdot C_{2}^{2}[/tex] maneiras de formar os grupos ordenadamente. Mas perceba que essa contagem deve ser dividida por [tex]3![/tex], pois a ordem na qual escolhemos os trios não resulta em uma configuração diferente.
Assim, ficamos com [tex]~\boxed{\dfrac{C_{11}^{3}\cdot C_{8}^{3}\cdot C_{5}^{3}\cdot C_{2}^{2}}{3!}=\dfrac{11!}{(3!)^{4}\cdot 2!}}~[/tex] maneiras de formar os grupos.
Agora, vamos calcular o número de grupos em que o casal está junto:
- 1º caso: O casal forma um grupo de dois.
Nesse caso, basta dividir os outros nove alunos em três grupos de três.
Isso pode ser feito de [tex]~\boxed{\dfrac{C_{9}^{3}\cdot C_{6}^{3}\cdot C_{3}^{3}}{3!}=\dfrac{9!}{(3!)^{4}}}~[/tex] maneiras.
2º caso: O casal forma um grupo de três com uma terceira pessoa.
Nesse caso, basta dividir os outros nove alunos em dois grupos de três e um grupo de dois no qual aluno que fica sobrando formará o trio com o casal.
Isso pode ser feito de [tex]\boxed{\dfrac{C_{9}^{3}\cdot C_{6}^{3}\cdot C_{3}^{2}}{2!}=\dfrac{9!}{(3!)^{2}\cdot (2!)^{2}}}[/tex] maneiras.
Portanto, pelo Princípio Aditivo e pela definição de Probabilidade em espaços amostrais finitos e equiprováveis, a probabilidade desejada pode ser assim calculada:
[tex]\qquad P= \dfrac{\dfrac{9!}{(3!)^{4}}+\dfrac{9!}{(3!)^{2}\cdot (2!)^{2}}}{\dfrac{11!}{(3!)^{4}\cdot 2!}}\\
\qquad P=\dfrac{\dfrac{\cancel{9!}}{(3!)^{2}\cdot\bcancel{(3!)^{2}}}+\dfrac{\cancel{9!}}{\bcancel{(3!)^{2}}\cdot (2!)^{2}}}{\dfrac{11\cdot 10\cdot\cancel{9!}}{(3!)^{2}\cdot\bcancel{(3!)^{2}}\cdot 2!}}\\
\qquad P=\dfrac{\dfrac{1}{(3!)^{2}}+\dfrac{1}{(2!)^{2}}}{\dfrac{11\cdot 10}{(3!)^{2}\cdot 2!}}=\dfrac{\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{4}}{\dfrac{110}{72}}\\
\qquad P=\dfrac{2+18}{110}=\dfrac{2}{11}.[/tex]
Assim, a probabilidade de que o casal faça o trabalho junto é, aproximadamente, [tex]18,2\%.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.