.Sala de Estudos: Equações Diofantinas Lineares

Um pouco de História

As equações diofantinas lineares possuem uma história que remonta à antiguidade, contando com o interesse de diferentes civilizações ao longo da história, como babilônios, hindus e chineses. Todos contribuíram de forma significativa para o desenvolvimento desse estudo, embora informalmente. Essas equações receberam uma atenção significativa ao longo do tempo, principalmente por causa do famoso Último Teorema de Fermat e de outras aplicações para a elaboração da teoria dos números. Porém, nenhum nome se destacou tanto quanto Diofanto de Alexandria em contribuições para esse estudo, com sua obra “Arithmetica”. A partir disso, nos perguntamos: quem foi ele? Diofanto foi um brilhante matemático grego do século III d.C. (sugerimos que dê uma olhadinha nesta página de nossa Biblioteca!), o primeiro a estudar sistematicamente equações polinomiais com soluções inteiras. Além de um grande filósofo, é considerado o maior algebrista da história de seu país, sendo por muitos conhecido como “o pai da álgebra”. Isso se deve principalmente pela sua inovação com as notações da mesma, que, pela primeira vez na história, apresentava símbolos na resolução de problemas. Esta sala apresenta esse estudo que foi tão importante para o desenvolvimento da álgebra que conhecemos, de forma didática e objetiva, dotado de teoremas e explicações detalhadas.

Fundamentos das Equações Diofantinas Lineares

Uma equação diofantina linear é qualquer equação da forma
[tex]\qquad a_1x_1+a_2x_2+\cdots +a_nx_n=b,[/tex]
em que [tex]a_1, a_2, \cdots, a_n[/tex] e [tex]b[/tex] são todos coeficientes inteiros, e para a qual se buscam somente soluções inteiras. Aqui, em nosso estudo, nos restringiremos a estudar apenas as equações diofantinas com duas incógnitas, ou seja, o caso em que [tex]n=2.[/tex]

Assim, chamamos de Equação Diofantina Linear de duas incógnitas qualquer equação da forma
[tex]\qquad ax+by=c,[/tex]
onde [tex]a, b[/tex] e [tex]c[/tex] são números inteiros, [tex]a, b\neq 0[/tex], e são de interesse apenas as soluções inteiras.

Uma solução particular para esse tipo de equação é um par de inteiros [tex](x_0,y_0)[/tex] tal que [tex]ax_0+by_0=c[/tex]. Isso pode ser observado no exemplo a seguir:

Mas será que todas as equações diofantinas possuem solução? Vejamos o próximo exemplo:

Sabendo agora que nem toda equação diofantina linear possui solução inteira, algumas perguntas podem ser feitas: “Quais as condições necessárias para que uma equação diofantina admita solução?” “Quantas são essas soluções?”

Para encontrarmos as respostas a esses questionamentos, começaremos enunciando um importante princípio sobre conjuntos de números naturais:

Outro resultado simples e importante, cuja demonstração é deixada como exercício, é o seguinte:

Agora, podemos demonstrar um importante teorema:

► Teorema de Bèzout:

Sejam [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] inteiros, com [tex]a\neq 0[/tex] e [tex]b\neq 0[/tex]. Então, existem inteiros [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] tais que [tex]mdc(a,b) = ax + by[/tex].

Com este Teorema em mãos, podemos apresentar a

► Condição de Existência de Solução:

Uma equação diofantina linear [tex]ax + by = c[/tex] possui solução se, e somente se, [tex]d = mdc(a, b)[/tex] divide [tex]c[/tex].

Um caso especial é aquele no qual [tex]a [/tex] e [tex]b[/tex] são números primos entre si, ou seja, [tex]d=mdc(a,b)=1[/tex]. Neste caso, como [tex]d=1[/tex] divide [tex]c[/tex] para qualquer número inteiro [tex]c[/tex], então a equação diofantina linear [tex]ax + by = c[/tex] sempre tem solução.

► Forma geral das soluções:

Se [tex](x_0, y_0)[/tex] for uma solução inteira qualquer da equação diofantina linear [tex]ax + by = c[/tex], então há infinitas soluções, todas elas dadas por:
[tex]\qquad x= x_0 + \dfrac{b}{d} t \ \ \ \text{e} \ \ \ \ y = y_0 -\dfrac{a}{d} t, [/tex]
onde [tex]t [/tex] é um inteiro arbitrário e [tex]d = mdc(a, b)[/tex].

No caso especial no qual [tex]d=mdc(a,b)=1[/tex], todas as outras soluções inteiras da equação são dadas por [tex]x=x_0+bt, y=y_0-at[/tex].

Relação entre uma Equação Diofantina e uma Função Afim

Uma observação que vale a pena ser feita é que, na Geometria Analítica, a equação [tex]ax + by = c [/tex] representa uma reta [tex]r[/tex], pois configura uma função afim. Portanto, ao procurarmos soluções inteiras para essa equação, estamos tentando descobrir se a reta [tex]r[/tex] que a representa contém pontos que tenham coordenadas simultaneamente inteiras.

Assim, se uma equação diofantina linear não possui solução inteira, então a reta [tex]r[/tex] que a representa não passa em nenhum ponto do plano cartesiano com ambas as coordenadas inteiras. Se houver solução inteira para a equação, então a reta que a representa possui infinitos pontos cujo par [tex](x, y)[/tex] tem coordenadas inteiras.

Para ilustrar esse raciocínio, mostramos um exemplo na animação a seguir. Você poderá perceber que a equação [tex]3x+5y=5[/tex], representada pela reta azul, possui infinitas soluções inteiras, representadas pelos pontos verdes. Ao contrário, a equação [tex]14x-7y=10[/tex] não possui soluções inteiras. A reta preta que a representa não contém nenhum ponto com ambas as coordenadas inteiras.

Como já sabemos o que são Equações Diofantinas Lineares e já conhecemos alguns resultados importantes, vamos aprofundar um pouco a nossa discussão em mais duas páginas: