Sala 3 – Problemas

(FEI, 1996) para que o determinante da matriz:
$\qquad \begin{bmatrix} 1+a & -1 \\ 3 & 1-a \\ \end{bmatrix}$
seja nulo, o valor de $a$, deve ser
$\qquad$a) $2$ ou $-2$
$\qquad$b) $1$ ou $3$
$\qquad$c) $-3$ ou $5$
$\qquad$d) $-5$ ou $3$
$\qquad$e) $4$ ou $-4$

(UniSC, 2017) Dadas as matrizes
$\qquad A =\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}$ e $B = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix},$
o determinante da matriz $A\cdot B$ é
$\qquad$a) $4$
$\qquad$b) $6$
$\qquad$c) $8$
$\qquad$d) $12$
$\qquad$e) $27$

(UFOP) Considere a matriz $S =\begin{bmatrix} S_{11} & S_{12} & S_{13} \\ S_{21} & S_{22} & S_{23} \\ S_{31} & S_{32} & S_{33} \\ \end{bmatrix}$ dada por $S_{ij} = \begin{cases}0, \;\text{se}\; i\lt j\\ i+j, \;\text{se}\; i=j\\ i-j, \;\text{se}\; i\gt j \end{cases}$.

Então, resolva a inequação $\det S \gt 3x^2$.

(PM/ES, 2018) Para saber o custo total (em reais) na produção de $x$ uniformes para um grupo de soldados, primeiramente substitui-se cada elemento $x$, da matriz a seguir, pela quantidade de uniformes que se quer produzir e calcula-se o determinante dessa matriz, obtendo-se, assim, o custo total na produção destes $x$ uniformes igual ao valor do determinante.
$\qquad \begin{vmatrix} x & 1 & 0 \\ 0 & -x & 100 \\ 0 & -1 & 1 \\ \end{vmatrix}$
Dessa forma, para se produzir $70$ uniformes para um grupo de soldados, o custo total nessa produção será de
$\qquad$a) R$ 4.100,00.
$\qquad$b) R$ 3.500,00.
$\qquad$c) R$ 3.100,00.
$\qquad$d) R$ 2.500,00.
$\qquad$e) R$ 2.100,00.

(UESP) Se o determinante da matriz $\begin{bmatrix} 2&1&0\\ k&k&k\\ 1&2&-2\\ \end{bmatrix}$ é igual a $10$, então o determinante da matriz $\begin{bmatrix} 2&1&0\\ k+4&k+3&k-1\\ 1&2&-2\\ \end{bmatrix}$ é igual a:
$\qquad$a) $7$
$\qquad$b) $8$
$\qquad$c) $9$
$\qquad$d) $10$
$\qquad$e) $11$

(MS CONCURSOS, 2016) Sabendo que o determinante da matriz $A = \begin{bmatrix} x & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 5 \\ -3 & -2 & 3 \\ \end{bmatrix}$ é $10$, então o determinante da matriz $B = \begin{bmatrix} 2x & -2 & -1 \\ 4 & -3 & 5 \\ -6 & 2 & 3 \\ \end{bmatrix}$ é:
$\qquad$a) $-20$
$\qquad$b) $-10$
$\qquad$c) $3$
$\qquad$d) $20$

(CESGRANRIO, 2011) Se o determinante da matriz $A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{bmatrix}$ é igual a $4$, então o determinante da matriz $B = \begin{bmatrix} 3b & 2c & a \\ 3e & 2f & d \\ 3h & 2i & g \\ \end{bmatrix}$ é igual a
$\qquad$a) $872$
$\qquad$b) $-872$
$\qquad$c) $24$
$\qquad$d) $-24$
$\qquad$e) $9$

Uma das aplicações para determinantes é na verificação se três pontos estão alinhados ou não. Para isso, calculamos o determinante na matriz composta pelas três abscissas na primeira coluna, as três ordenadas na segunda coluna e a terceira coluna com todos os elementos iguais a $1$. Por exemplo, os pontos $A(2, 2), B(3, 5)$ e $C(x, 11)$ estarão alinhados se o determinante da matriz a seguir for igual a zero.
$\qquad \begin{bmatrix} 2&2&1\\ 3&5&1\\ x&11&1\\ \end{bmatrix}$
O valor de $x$ que faz com que esses três pontos estejam alinhados é:
$\qquad$a) $12$
$\qquad$b) $10$
$\qquad$c) $8$
$\qquad$d) $5$
$\qquad$e) $3$

Analise a matriz a seguir:

$\qquad A=\begin{bmatrix} 1&5&x\\ 4&0&7\\ 2&10&2x\\ \end{bmatrix}$

O seu determinante é igual a zero, porque
$\qquad$a) o termo central da matriz é zero.
$\qquad$b) a primeira e a terceira linhas são iguais.
$\qquad$c) a primeira e a segunda colunas são múltiplas.
$\qquad$d) a primeira e a terceira linhas são múltiplas.
$\qquad$e) a matriz possui ordem $3$.

(Unesp–SP) Seja $A$ uma matriz. Se $A^3=\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&6&14\\ 0&14&34\\ \end{bmatrix}$, o determinante de $A$ é:
$\qquad$a) $8$
$\qquad$b) $2\sqrt{2}$
$\qquad$c) $2$
$\qquad$d) $\sqrt[3]{2}$
$\qquad$e) $1$

(UF–AM) Sendo $A = \begin{bmatrix} 1 &0 &0& 0 &0\\ -5& 0& 1 &3 &2\\ 6 &3 &0 &2& 1\\ 9 &1 &0& 2& 0\\ -1 &-1& 0 &1& 0\\ \end{bmatrix}$ uma matriz real, então o $\det A$ é:
$\qquad$a) $-3$
$\qquad$b) $3$
$\qquad$c) $10$
$\qquad$d) $-10$
$\qquad$e) $24$

(ITA, 2012) Considere a matriz quadrada $A$ em que os termos da diagonal principal são $1, 1+x_1, 1+x_2,\cdots , 1+x_n$ e todos os outros termos são iguais a $1$. Sabe-se que $(x_1, x_2, \cdots , x_n)$ é uma progressão geométrica cujo primeiro termo é $\dfrac{1}{2}$ e a razão é $4$.
Determine a ordem da matriz $A$ para que o seu determinante seja igual a $256$.

(ITA) Considerando que $x_1, x_2, x_3, x_4$ e $x_5$ são termos consecutivos de uma progressão aritmética (P. A.) de razão $r$ e que $\det(A)-4\det(B)=1$, sendo $A$ e $B$ matrizes dadas por

$\qquad A= \begin{bmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \\ 1 & x_5 & x_5^2 \\ \end{bmatrix}$ e $B=\begin{bmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \\ \end{bmatrix},$

calcule a razão da referida P. A.