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Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)
Cada um dos lados do octógono regular mostrado na figura mede 2cm.
Qual a diferença, em centímetros quadrados, entre a área da região sombreada e a área da região não sombreada?
Solução
- Seja Q a região central do octógono delimitada pelo quadrado de lados com comprimentos 2cm, conforme mostrado abaixo. Observe que podemos dividir essa região a partir de quatro triângulos retângulos isósceles congruentes com hipotenusas medindo 2cm. Vamos denotar a área de cada um desses triângulos por A, conforme indicado abaixo, na figura da direita.
- Perceba que temos mais quatro triângulos retângulos isósceles com hipotenusas medindo 2cm e a área A, conforme ilustra a próxima figura.
- Por último, veja que também temos definidos quatro retângulos de lados 2cm e √2cm (dois na região sombreada e dois na não sombreada), cujas áreas estão indicadas por B na próxima figura.
Dessa forma, tanto a área da região sombreada como a da não sombreada é 4A+2B e, portanto, a diferença entre essas duas áreas é 0cm2.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Gincana de 2017 – Clubes de Matemática da OBMEP
Nível B – Questão Média
Nível B – Questão Média
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