Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Uma determinada escola, no período da Semana Cultural, sempre promove uma Gincana Matemática entre seus alunos. Uma das tarefas consiste em um jogo de perguntas sobre os conteúdos matemáticos abordados em sala de aula. As regras são as seguintes:
- Regra [tex]01[/tex]: Cada aluno participante iniciará a primeira rodada com [tex]256[/tex] (duzentos e cinquenta e seis) pontos;
- Regra [tex]02[/tex]: Em cada rodada, uma pergunta será feita para cada aluno participante. Se o aluno acertar, ganhará a metade dos pontos que tem, entretanto, se errar, perderá metade dos pontos que tem;
- Regra [tex]03[/tex]: O jogo terá [tex]8[/tex] (oito) rodadas;
- Regra [tex]04[/tex]: Ao final das [tex]8[/tex] (oito) rodadas, cada aluno calculará seu desempenho da seguinte forma: subtrai dos pontos que tem os [tex]256[/tex] pontos iniciais. Se o resultado for negativo, então o aluno “ficou devendo”. Se o resultado for positivo, então o aluno “teve lucro”;
- Regra [tex]05[/tex]: O vencedor será o aluno que obtiver o melhor desempenho.
O desempenho de Nestor, um dos alunos participantes dessa tarefa, ao final das [tex]8[/tex] (oito) rodadas, foi: “ficou devendo” [tex]13[/tex] (treze) pontos. Quantos erros e quantos acertos Nestor teve?
Solução
Sejam [tex]a[/tex] o número de acertos e [tex]e[/tex] o número de erros de Nestor.
- Cada vez que ele acerta, ele ganha metade dos pontos que possui na ocasião, ou seja, ele passa a ter [tex]\dfrac{3}{2}[/tex] do que possui.
- Analogamente, cada vez que ele erra, ele perde metade dos pontos que possui na ocasião, ou seja, ele passa a ter [tex]\dfrac{1}{2}[/tex] do que possui.
Assim:
[tex]\qquad \qquad \begin{cases}
a+e=8\\
256\cdot\left(1+\dfrac{1}{2}\right)^a\cdot\left(1-\dfrac{1}{2}\right)^e=256-13=243 \, .\\
\end{cases}[/tex]
Da segunda equação, vem:
[tex]\qquad \left(1+\dfrac{1}{2}\right)^a\cdot\left(1-\dfrac{1}{2}\right)^e=\dfrac{243}{256}[/tex]
[tex]\qquad \left(\dfrac{3}{2}\right)^a\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^e=\dfrac{243}{256} [/tex]
[tex]\qquad \dfrac{3^a}{2^a} \cdot \dfrac{1}{2^e}=\dfrac{3^5}{2^8}[/tex]
[tex] \qquad \dfrac{3^a}{2^{a+e}}=\dfrac{3^5}{2^8} [/tex]
[tex]\qquad \boxed{ a=5} \, [/tex] e [tex] \, \boxed{e=3} \, .[/tex]
Observe que a sequência de acertos e erros não importa; importa somente a quantidade destes ou daqueles, ou seja, qualquer sequência com cinco acertos e três erros resultará em “ficar devendo [tex]13[/tex] pontos”.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.