Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Na figura, temos o esboço do gráfico da função definida por [tex]f(x)=-x^2+2x[/tex].
Qual a medida do lado do quadrado [tex]ABCD[/tex]?
Solução
O eixo de simetria do gráfico da função [tex]f[/tex] é a reta de equação [tex]x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{2}{2\cdot(-1)}=1.[/tex]
Sendo [tex]k[/tex] a medida do lado do quadrado [tex]ABCD[/tex], o ponto [tex]C[/tex] tem coordenadas [tex]C=\left(1+\dfrac{k}{2};\ k\right).[/tex]
Como [tex]C[/tex] pertence ao gráfico de [tex]f[/tex], suas coordenadas satisfazem a equação que define a função [tex]f[/tex], ou seja, [tex]f\left(1+\dfrac{k}{2}\right)=k.[/tex]
Assim, temos que:
[tex]\qquad f\left(1+\dfrac{k}{2}\right)=k[/tex]
[tex]\qquad -\left(1+\dfrac{k}{2}\right)^2+2\left(1+\dfrac{k}{2}\right)=k [/tex]
[tex]\qquad \left(1+\dfrac{k}{2}\right)^2=2.[/tex]
Mas [tex]k[/tex] é o comprimento do lado do quadrado [tex]ABCD[/tex], então [tex]k \gt 0[/tex] e, portanto:
[tex]\qquad 1+\dfrac{k}{2}=\sqrt{2}[/tex]
[tex]\qquad k=2(\sqrt{2}-1).[/tex]
Pelo exposto, a medida do lado do quadrado [tex]ABCD[/tex] é [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ k=2(\sqrt{2}-1)$}[/tex] unidades de comprimento.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.