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Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)
Nicole guardou moedas de 5 e de 10 centavos em um cofrinho.
Quando conseguiu juntar cem moedas, ela abriu o cofrinho e observou que, se trocasse cada moeda de cinco por uma moeda de dez centavos e cada moeda de dez por uma moeda de cinco centavos, ela lucraria 70 centavos.
Qual a quantia em reais das cem moedas que havia no cofrinho?
Solução 1
Vamos supor que as quantias de moedas de [tex]5[/tex] e de [tex]10[/tex] centavos que havia no cofrinho sejam [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex], respectivamente. Assim:
[tex]\qquad x+y=100.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Com [tex]100[/tex] moedas guardadas, Nicole percebeu que se trocasse cada moeda de cinco por uma moeda de dez centavos e cada moeda de dez por uma moeda de cinco centavos, ela lucraria [tex]70[/tex] centavos; assim, se [tex]T[/tex] é o total em centavos das cem moedas do cofrinho, então:
- [tex]5x+10y=T \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
- [tex]5y+10x=T+70. \qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
Dessa forma, substituindo o valor de [tex]T[/tex] da equação [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] na equação [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad 5y+10x=\textcolor{#FF1493}{T}+70 [/tex]
[tex]\qquad 5y+10x=\textcolor{#FF1493}{(5x+10y)}+70 [/tex]
[tex]\qquad 10x-5x=10y-5y+70 [/tex]
[tex]\qquad 5x=5y+70 [/tex]
[tex]\qquad \boxed{x=y+14}. \qquad \textcolor{#800000}{(iv)} [/tex]
Agora, substituindo o valor de [tex]x[/tex] da equação [tex]\textcolor{#800000}{(iv)}[/tex] na equação [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad \textcolor{#FF1493}{x}+y=100[/tex]
[tex]\qquad \textcolor{#FF1493}{(y+14)}+y=100[/tex]
[tex]\qquad 2y=100-14[/tex]
[tex]\qquad 2y=86[/tex]
[tex]\qquad y=43[/tex] moedas.
Substituindo [tex]y=43[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(iv)}[/tex], temos que [tex]x=y+14=43+14=57[/tex] moedas.
Como havia no cofrinho [tex]57[/tex] moedas de cinco centavos e [tex]43[/tex] moedas de dez centavos, em reais, Nicole conseguiu juntar:
[tex]\qquad \qquad 57 \times 0,05+43 \times 0,10=2,85+4,30=7,15.[/tex]
Portanto, Nicole tinha no cofrinho a quantia de [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$R\$ \, 7,15$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Vamos supor que as quantias de moedas de [tex]5[/tex] e de [tex]10[/tex] centavos que havia no cofrinho sejam [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex], respectivamente. Assim:
[tex]\qquad x+y=100.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Na troca das moedas,
- Nicole ganharia [tex]5[/tex] centavos em cada moeda de [tex]5[/tex] trocada por uma de [tex]10 \, [/tex], ou seja, ganharia [tex]5x \, [/tex];
- Nicole perderia [tex]5[/tex] centavos em cada moeda de [tex]10[/tex] trocada por [tex]5[/tex], ou seja, perderia [tex]5y.[/tex]
Como o lucro com as trocas seria de [tex]70[/tex] centavos, então [tex]5x-5y=70[/tex] ou, ainda, [tex]\boxed{x=y+14} \, . \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Dessa forma, substituindo o valor de [tex]x[/tex] da equação [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] na equação [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad \textcolor{blue}{x}+y=100[/tex]
[tex]\qquad \textcolor{blue}{(y+14)}+y=100[/tex]
[tex]\qquad 2y=100-14[/tex]
[tex]\qquad 2y=86[/tex]
[tex]\qquad y=43[/tex] moedas.
Substituindo [tex]y=43[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], temos que [tex]x=y+14=43+14=57[/tex] moedas.
Como havia no cofrinho [tex]57[/tex] moedas de cinco centavos e [tex]43[/tex] moedas de dez centavos, em reais, Nicole conseguiu juntar:
[tex]\qquad \qquad 57 \times 0,05+43 \times 0,10=2,85+4,30=7,15.[/tex]
Portanto, Nicole tinha no cofrinho a quantia de [tex]\fcolorbox{black}{#E6E6FA}{$R\$ \, 7,15$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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