Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Mostre que [tex]x^2+4y^2-4xy+2x-4y+2>0[/tex], quaisquer que sejam os números reais [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex].
Solução
Observe que, se [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] são números reais, podemos reescrever a expressão dada no problema da seguinte forma:
[tex]\begin{align*}
\qquad x^2+4y^2-4xy+2x-4y+2 &=x^2+2x+1+4y^2-4xy-4y+1\\
&=(x+1)^2-4y(x+1)+4y^2+1\\
&=[(x+1)-2y]^2+1\\
&=(x-2y+1)^2+1
\end{align*}[/tex]
Como
[tex]\qquad (x-2y+1)^2+1 \gt 0 \, [/tex],
segue que:
[tex]\qquad x^2+4y^2-4xy+2x-4y+2=(x-2y+1)^2+1>0 \, [/tex],
ou seja,
[tex]\qquad \boxed{ x^2+4y^2-4xy+2x-4y+2 \gt 0} \, .[/tex]
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