.Problema para ajudar na escola: Brincando com um tabuleiro

Problema
(A partir do 7º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Muito Difícil)

Um tabuleiro [tex]3 × 3[/tex] foi inicialmente preenchido com zeros. Em seguida, a cada passo, foi escolhido um quadrado [tex]2 × 2[/tex] e somou-se [tex]1[/tex] a todos os números das quatro casas do quadrado escolhido. Por exemplo, os três primeiros passos poderiam ter sido:

Depois de [tex]28[/tex] passos, foi obtida a configuração abaixo, da qual alguns números foram apagados.

Complete o tabuleiro com os números que foram apagados.

Solução

Antes de mais nada, perceba que podemos escolher os quadrados [tex]2 \times 2 [/tex] de quatro maneiras diferentes e que cada quadradinho dos cantos só está em uma Configuração.

• Observe que, como o quadradinho central do tabuleiro está nas quatro configurações, ele esteve presente nas [tex]28[/tex] escolhas. Então o quadradinho central recebeu [tex]28[/tex] “uns” e, portanto, lá estava o número [tex]28[/tex].
• Observe também que o quadradinho que contém o [tex]17[/tex] não faz parte das duas últimas Configurações exibidas na figura acima; logo, foi escolhido um dos quadrados [tex]2 \times 2 [/tex] das Configurações [tex]3 [/tex] e [tex]4[/tex] por [tex]28−17=11[/tex] vezes. Assim, o quadradinho abaixo do central continha o número [tex]11[/tex], já que este quadradinho faz parte das duas últimas configurações.
• Com o mesmo raciocínio, observamos que o quadradinho que contém o número [tex]9[/tex] não faz parte das Configurações [tex]1 [/tex] e [tex]3[/tex]; logo, essas Configurações foram escolhidas [tex]28−9=19[/tex] vezes. Portanto, o quadradinho à esquerda do central continha o número [tex]19.[/tex]

Até agora, já recuperamos três dos números apagados

[tex]\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
& 17& \\
\hline
\textcolor{#800000}{19} & \textcolor{#800000}{28} & 9\\
\hline
7 & \textcolor{#800000}{11} & \\
\hline
\end{array}[/tex]

• O número [tex]7 [/tex] presente no tabuleiro indica que a Configuração [tex]3 [/tex] foi usada [tex]7[/tex] vezes. Mas sabemos que as Configurações [tex]3 [/tex] e [tex]4[/tex] foram escolhidas [tex]11[/tex] vezes; assim, a Configuração [tex]4[/tex] foi escolhida [tex]11-7=4[/tex] vezes (lembre-se de que o [tex]7[/tex] só está na Configuração [tex]3)[/tex] e, com isso, o quadradinho do canto inferior direito contém o número [tex]4[/tex].

[tex]\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
& 17& \\
\hline
\textcolor{#800000}{19} & \textcolor{#800000}{28} & 9\\
\hline
7 & \textcolor{#800000}{11} & \textcolor{#800000}{4}\\
\hline
\end{array}[/tex]

• Os números [tex]9 [/tex] e [tex]4 [/tex] que aparecem no tabuleiro nos indicam que as Configurações [tex]2 [/tex] e [tex]4[/tex] foram escolhidas [tex]9[/tex] vezes, mas a Configuração [tex]4[/tex] foi escolhida apenas [tex]4[/tex] vezes. Assim, a Configuração [tex]2[/tex] foi escolhida [tex]9-4=5[/tex] vezes, já que o canto inferior direito não faz parte dela. Dessa forma, concluímos que o quadradinho do canto superior direito contém o número [tex]5[/tex].
• Raciocinando do mesmo modo, concluímos que o quadradinho do canto superior esquerdo contém o número [tex]19-7=12 [/tex] e o tabuleiro é, finalmente, preenchido.

[tex]\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\textcolor{#800000}{12}& 17&\textcolor{#800000}{5} \\
\hline
\textcolor{#800000}{19} & \textcolor{#800000}{28} & 9\\
\hline
7 & \textcolor{#800000}{11} & \textcolor{#800000}{4}\\
\hline
\end{array}[/tex]

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.