Problema
Antônio é um rapaz que adora o número [tex]7[/tex]. Brincando com sua calculadora, ele registrou algumas operações que efetuou em uma tabela.
[tex]\qquad \begin{array}{|l|l|l|}
\hline & \textrm{Operação Matemática} & \textrm{Resultado} \\
\hline \textrm{Linha 1}&7\times77 &539\\
\hline \textrm{Linha 2}&7\times777&5439 \\
\hline \textrm{Linha 3}&7\times7777& 54439\\
\hline \textrm{Linha 4}&7\times77777& 544439\\
\hline \textrm{Linha 5}&7\times777777& 5444439\\
\hline \vdots&\vdots&\vdots\\
\hline
\end{array}[/tex]
Admitindo-se que o resultado em cada linha [tex]n[/tex], [tex]n[/tex] um número natural não nulo, segue o mesmo padrão mostrado no início da tabela, em qual linha aparecerá o primeiro resultado múltiplo de [tex]9[/tex]?
Solução 1
(Indicada a partir do 9º ano do E. F.)
Para um número natural ser divisível por [tex]9[/tex], é necessário e suficiente que a soma de seus algarismos seja divisível por [tex]9[/tex].
Observe que a soma dos algarismos do resultado pertencente à primeira linha, [tex]539[/tex], é igual a [tex]5+3+9=17[/tex]. Além disso, a cada linha é inserido um algarismo [tex]4[/tex] no resultado e, portanto, é também acrescido o número [tex]4[/tex] na soma dos algarismos dos resultados.
Como queremos um múltiplo de [tex]9[/tex], basta encontrar o menor [tex]k\in \mathbb{N}[/tex] tal que [tex]17+4k=9n[/tex], [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]: a solução do problema será a linha de número [tex]k+1.[/tex]
[tex]\qquad \begin{array}{|l|l|l|l|}
\hline & \textrm{Operação Matemática} & \textrm{Resultado}& \text{Forma} \, 17+4t \\
\hline \textrm{Linha} \, \textcolor{#800000}{1}&7\times77 &539 & 17+4\cdot\textcolor{#800000}{0}\\
\hline \textrm{Linha} \, \textcolor{#800000}{2}&7\times777&5439 & 17+4\cdot\textcolor{#800000}{1} \\
\hline \textrm{Linha} \, \textcolor{#800000}{3}&7\times7777& 54439 & 17+4\cdot\textcolor{#800000}{2}\\
\hline \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
\hline \textrm{Linha} \, \textcolor{#800000}{k+1}&7\times7777\cdots7& ? & 17+4\cdot\textcolor{#800000}{k}\\
\hline
\end{array}[/tex]
O menor valor de [tex]k[/tex] nessas condições é [tex]k=7[/tex]. Assim, têm-se [tex]17+4\times 7=17+28=45=9\cdot 5[/tex].
Portanto, o resultado pertencerá à oitava linha.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
(Indicada a partir do 9º ano do E. F.)
Veja que o resultado de uma linha [tex]n[/tex] sempre é o resultado da multiplicação [tex]7\times\underbrace{77\cdots77}_{n+1\, setes} \, .[/tex] Como [tex]7[/tex] e [tex]9[/tex] são primos entre si, para que [tex]7\times\underbrace{77\cdots77}_{n+1\, setes}[/tex] seja divisível por [tex]9[/tex] devemos ter, obrigatoriamente, [tex]\underbrace{77\cdots77}_{n+1\, setes}[/tex] divisível por [tex]9[/tex].
Sabe-se que, para um número ser divisível por [tex]9[/tex], é necessário e suficiente que a soma de seus algarismos seja divisível por [tex]9[/tex]. Por isso, o primeiro resultado múltiplo de [tex]9[/tex] ocorrerá quando a soma dos algarismos de [tex]\underbrace{77\cdots77}_{n+1\, setes}[/tex], isto é, [tex]7\cdot (n+1) \, [/tex], for divisível por [tex]9.[/tex]
Usando novamente o fato de que [tex]7[/tex] e [tex]9[/tex] são primos entre si, devemos ter [tex]n+1[/tex] divisível por [tex]9[/tex]. Perceba que isto ocorre pela primeira vez quando [tex]n=8[/tex] e, portanto, na oitava linha.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 3
(Indicada a partir do 8º ano do E. F.)
Podemos observar, por meio dos cálculos, que existe uma “sequência”. O primeiro resultado é [tex]539[/tex], e, após isso, quando é adicionado mais uma vez o algarismo [tex]7[/tex] insere-se um algarismo [tex]4[/tex] entre [tex]5[/tex] e [tex]3[/tex].
Além disso, sabe-se que um número é múltiplo de [tex]9[/tex] se, e somente se, a soma de seus algarismos é divisível por [tex]9[/tex].
Soma-se os três algarismos fixos, resultando em [tex]5+3+9=17 \, [/tex], e a este resultado soma-se [tex]4[/tex] (tantas vezes quanto necessário, até chegar a um número divisível por [tex]9[/tex]):
[tex]\qquad 17+4=21 \, \, ; \, \, 21+4=25 \, \, ; \, \, 25+4=29 \, \, ; \, \, 29+4=33 \, \, ;\\
\qquad 33+4=37 \, \, ; \, \, 37+4=41 \, \, ; \, \, 41+4=45.[/tex]
Levando em consideração os resultados das somas, podemos seguir a seguinte sequência:
- Linha 1: soma igual a 17
- Linha 2: soma igual a 21
- Linha 3: soma igual a 25
- Linha 4: soma igual a 29
- Linha 5: soma igual a 33
- Linha 6: soma igual a 37
- Linha 7: soma igual a 41
- Linha 8: soma igual a 45.
Então concluímos que o primeiro resultado múltiplo de [tex]9[/tex] está na linha [tex]8[/tex].
Solução elaborada pelo Clube DELTONAUTAS , com contribuições dos Moderadores do Blog.