Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Um garoto resolveu escrever todos os números inteiros positivos menores do que [tex]1000[/tex] nos quais os algarismos [tex]1[/tex] e [tex]2[/tex] aparecem exatamente uma vez cada um.
Quantos números o garoto deverá escrever?
Solução
Perceba que os números a serem escritos têm menos que quatro dígitos, já que são menores que [tex]1000[/tex]. Como os algarismos [tex]1[/tex] e [tex]2[/tex] aparecem uma única vez cada um, esses números devem ter pelo menos dois dígitos.
Temos, então, dois grupos de números a considerar: os que possuem dois dígitos e os que possuem três dígitos.
- Os que possuem dois dígitos
Nesse grupo há apenas dois números: [tex]\boxed{12}[/tex] e [tex]\boxed{21}[/tex].
- Os que possuem três dígitos
- Observe que há oito modos de escolher o algarismo [tex]a[/tex], já que não pode ser [tex]1[/tex], nem [tex]2[/tex].
- Com os três algarismos na mão, há seis modos de ordenar esses elementos: [tex]\boxed{12a}[/tex], [tex]\boxed{1a2}[/tex], [tex]\boxed{21a}[/tex], [tex]\boxed{2a1}[/tex], [tex]\boxed{a12}[/tex] e [tex]\boxed{a21}[/tex].
Indicaremos o terceiro dígito dos números deste grupo por [tex]a[/tex].
Na tarefa de formar um número com os algarismos [tex]1[/tex], [tex]2[/tex] e [tex]a[/tex], vamos escolher qual o algarismo [tex]a[/tex] e, em seguida, ordenar os três algarismos.
Utilizando o princípio fundamental da contagem podemos calcular de quantos modos essa tarefa pode ser feita.
Haveria, portanto, [tex]8 \cdot 6 = 48[/tex] números nesse grupo; entretanto, quando [tex]a = 0[/tex], acabamos contando os números [tex]021[/tex] e [tex]012[/tex] e estes possuem apenas dois dígitos. Deste modo, há [tex]46[/tex] números neste grupo.
Concluímos, portanto, que o garoto deverá escrever [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$46 + 2 = 48$}[/tex] números.
Observação: Poderíamos ter contado todos os números de uma vez, se considerássemos os números de dois dígitos como um número de três dígitos com o dígito [tex]0[/tex] na centena.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.