Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Toda vez que Francimar pensa em um número natural, ele descobre que, coincidentemente, esse número possui uma quantidade ímpar de divisores naturais.
Mostre que Francimar sempre pensa em números que são quadrados perfeitos.
Solução 1
Seja [tex]n[/tex] um dos números pensados por Francimar.
Veja que, se [tex]d[/tex] for divisor de [tex]n[/tex], então o quociente [tex]\dfrac{n}{d}[/tex] também o será; assim, perceba que:
- se para cada divisor [tex]d[/tex] de [tex]n[/tex] tivéssemos que [tex]d \neq \dfrac{n}{d}[/tex], então haveria um número par de divisores de [tex]n[/tex], pois poderíamos agrupar os divisores em pares "[tex]d[/tex] e [tex]\dfrac{n}{d}[/tex]".
Como o número que Francimar pensou tem uma quantidade ímpar de divisores, então, para algum de seus divisores, digamos [tex]a[/tex] vale que [tex]a=\dfrac{n}{a}[/tex].
Assim, temos [tex]n=a^2[/tex] e, portanto, [tex]n[/tex] é um quadrado perfeito.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Sabe-se que para calcular o número de divisores de um número natural maior do [tex]1[/tex] basta decompô-lo em fatores primos, somar [tex]1[/tex] aos expoentes de cada fator e multiplicar as somas obtidas.
Sejam, então, [tex]p_1, p_2,\ldots , p_n[/tex] os expoentes dos fatores primos da decomposição de um número no qual Francimar pensou. Logo, o número em questão possui
- [tex](p_1+1)\times(p_2+1)\times \ldots \times(p_n+1)[/tex] divisores.
Para que tal produto resulte em um número ímpar, todos os seus fatores devem ser ímpares (basta um par para que o produto seja par), mostrando, assim, que [tex]p_1, p_2,\ldots , p_n[/tex] seriam pares.
Conclui-se, então, que Francimar sempre pensa em números que são quadrados perfeitos.
Solução elaborada pelo Clube Paralelo 38 , com contribuições dos Moderadores do Blog.
Participaram da discussão os Clubes: 1uik e Paralelo 38.