Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Determine [tex]A^2[/tex], sabendo-se que [tex]A[/tex] é a soma dos valores absolutos de todas as raízes da seguinte equação:
[tex]x = \sqrt{19} + \dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{x}}}}}}}}}[/tex].
Solução 1
Observe, inicialmente, a seguinte sequência de igualdades equivalentes:
[tex]\quad \begin{align*} &x = \sqrt{19} + \dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{x}}}}}}}}} \;\Longleftrightarrow\\
&\Longleftrightarrow x – \sqrt{19} = \dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{x}}}}}}}}} \;\Longleftrightarrow \\
& \Longleftrightarrow \dfrac{\color{red}{x – \sqrt{19}}}{\color{blue}{91}} = \dfrac{\color{red}{1}}{\color{blue}{\boxed{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{x}}}}}}}}}}} \;\Longleftrightarrow \\
\,\\
&\Longleftrightarrow \dfrac{\color{blue}{91}}{\color{red}{x – \sqrt{19}}} =\dfrac{\color{blue}{ \boxed{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{x}}}}}}}}}}}{\color{red}{1}}\;\Longleftrightarrow\\
\,\\
&\Longleftrightarrow \dfrac{91}{x – \sqrt{19}} = {\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{x}}}}}}}} \;\Longleftrightarrow\\
&\Longleftrightarrow \dfrac{91}{x – \sqrt{19}} – \sqrt{19}=\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{x}}}}}}} \;\Longleftrightarrow \\
&\Longleftrightarrow \dfrac{91- \sqrt{19}\left(x – \sqrt{19} \right)}{x – \sqrt{19}} =\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{x}}}}}}} \;\Longleftrightarrow\\
&\Longleftrightarrow \dfrac{91- \sqrt{19}x +19}{x – \sqrt{19}} =\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{x}}}}}}} \;\Longleftrightarrow\\
&\Longleftrightarrow \dfrac{110- \sqrt{19}x}{x – \sqrt{19}} =\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{x}}}}}}}. \qquad \qquad \color{#800000}(i)\end{align*}[/tex]
Mas, perceba que:
[tex]\qquad \begin{align*}\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{x}}}}}}}& =\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\dfrac{\sqrt{19}x+91}{x}}}}}}}\\
& =\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91x}{{\sqrt{19}x+91}}}}}}\end{align*}[/tex]
logo, por [tex]\color{#800000}(i)[/tex], segue que
[tex]\quad \dfrac{110- \sqrt{19}x}{x – \sqrt{19}} =\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91x}{{\sqrt{19}x+91}}}}}}[/tex]
e temos, então, uma nova sequência de igualdades equivalentes:
[tex]\quad \begin{align*}&\dfrac{110- \sqrt{19}x}{x – \sqrt{19}} =\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91x}{{\sqrt{19}x+91}}}}}} \;\Longleftrightarrow\\
&\Longleftrightarrow \dfrac{110- \sqrt{19}x}{91\left(x – \sqrt{19}\right)} =\dfrac{1}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91x}{{\sqrt{19}x+91}}}}}} \;\Longleftrightarrow \\
&\Longleftrightarrow \dfrac{\color{red}{110- \sqrt{19}x}}{\color{blue}{91x – 91\sqrt{19}}}=\dfrac{\color{red}{1}}{\color{blue}{\boxed{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91x}{{\sqrt{19}x+91}}}}}}}}\; \Longleftrightarrow \\
\;\\
&\Longleftrightarrow \dfrac{\color{blue}{91x – 91\sqrt{19}}}{\color{red}{110- \sqrt{19}x}}=\dfrac{\color{blue}{\boxed{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91x}{{\sqrt{19}x+91}}}}}}}}{\color{red}{1}} \;\Longleftrightarrow \\
\,\\
&\Longleftrightarrow \dfrac{91x – 91\sqrt{19}}{110- \sqrt{19}x} ={\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91x}{{\sqrt{19}x+91}}}}} \;\Longleftrightarrow \\
&\Longleftrightarrow \dfrac{91x – 91\sqrt{19}}{110- \sqrt{19}x} -\sqrt{19}=\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91x}{{\sqrt{19}x+91}}}} \;\Longleftrightarrow\\
&\Longleftrightarrow \dfrac{91x – 91\sqrt{19}-110\sqrt{19}+ 19x}{110- \sqrt{19}x}=\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91x}{{\sqrt{19}x+91}}}}\;\Longleftrightarrow\\
&\Longleftrightarrow \dfrac{\color{red}{110x- 201\sqrt{19}}}{\color{blue}{91\times 110- 91 \sqrt{19}x}}=\dfrac{\color{red}{1}}{{\color{blue}{\sqrt{19}+\dfrac{91x}{{\sqrt{19}x+91}}}}}\;\Longleftrightarrow \end{align*}[/tex]
[tex]\quad \begin{align*}\Longleftrightarrow \dfrac{\color{blue}{91\times 110- 91 \sqrt{19}x}}{\color{red}{110x- 201\sqrt{19}}}&=\dfrac{{\color{blue}{\sqrt{19}+\dfrac{91x}{{\sqrt{19}x+91}}}}}{\color{red}{1}}\\
&=\sqrt{19}+\dfrac{91x}{\sqrt{19}x+91}\\
&=\dfrac{\sqrt{19}\sqrt{19}x+91\sqrt{19}+91x}{\sqrt{19}x+91}.\end{align*}[/tex]
Assim,
[tex] \qquad \dfrac{91\times 110- 91 \sqrt{19}x}{110x- 201\sqrt{19}}=\dfrac{110x+91\sqrt{19}}{\sqrt{19}x+91}[/tex],
donde, multiplicando em cruz, obtemos
[tex]\quad \bcancel{{\color{#800000}91\times 110 \sqrt{19} \, x}}-{\color{#0080FF}{91\times 19 x^2}}+91^2 \times 110-{\color{#800000}91^2\sqrt{19} \, x}\\
\,\\
\quad{\color{#0080FF}{110^2 x^2}}+\bcancel{{\color{#800000}91\times 110 \sqrt{19} \, x}}-{\color{#800000}110\times 201\sqrt{19} \, x}-201 \times 91 \times 19[/tex]
ou ainda
[tex]\quad{\color{#0080Ff}\left(110^2+19\times 91\right)x^2}+{\color{#800000}\left(91^2 \sqrt{19} -110 \times 201 \sqrt{19} \right)x}\\
\quad \quad -\left(91^2 \times 110+201 \times 91 \times 10 \right)=0. [/tex]
Dessa forma, estamos procurando as raízes da equação
[tex] \quad 13829x^2-13829 \sqrt{19} \, x-1258439=0 \, [/tex]
que simplificada fica
[tex] \quad \boxed{x^2-\sqrt{19} \, x-91=0}[/tex].
Para resolver a equação [tex] \, x^2-\sqrt{19} \, x-91=0[/tex], observamos que [tex]\Delta=19+364=383[/tex] e, portanto [tex]x=\dfrac{\sqrt{19}\pm \sqrt{383}}{2}[/tex].
Logo, a soma dos valores absolutos das raízes da equação é
[tex]\quad A=\dfrac{\sqrt{19}+\sqrt{383}}{2}+\dfrac{\sqrt{383}- \sqrt{19}}{2}=\sqrt{383}[/tex].
Finalmente, [tex] \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$A^2=383$}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Observe a sequência de igualdades equivalentes:
[tex]x = \sqrt{19} + \dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{\color{red}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{x}}}}}}}}}}=\sqrt{19} + \dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\color{red}\dfrac{91+x\sqrt{19}}{x}}}}}}}}}
\\[/tex]
[tex]x = \sqrt{19} + \dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\color{blue}\dfrac{91}{{\dfrac{91+x\sqrt{19}}{x}}}}}}}}}=\sqrt{19} + \dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\color{blue}\dfrac{91x}{91+x\sqrt{19}}}}}}}}
\\[/tex]
[tex]x = \sqrt{19} + \dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\color{green}\sqrt{19}+\dfrac{91x}{91+x\sqrt{19}}}}}}}} = \sqrt{19} + \dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\color{green}\dfrac{91\sqrt{19}+110x}{91+x\sqrt{19}}}}}}}}
\\[/tex]
[tex]x = \sqrt{19} + \dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\color{red}\dfrac{91}{{\dfrac{91\sqrt{19}+110x}{91+x\sqrt{19}}}}}}}}= \sqrt{19} + \dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\color{red}\dfrac{91^2+91x\sqrt{19}}{91\sqrt{19}+110x}}}}}
\\[/tex]
[tex]x = \sqrt{19} + \dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\color{blue}\sqrt{19}+\dfrac{91^2+91x\sqrt{19}}{91\sqrt{19}+110x}}}}}=\sqrt{19} + \dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\color{blue}\dfrac{110\times91+201x\sqrt{19}}{91\sqrt{19}+110x}}}}}
\\ \, \\[/tex]
[tex] x = \sqrt{19} + \dfrac{91}{{\sqrt{19}+\color{green}\dfrac{91}{{\dfrac{110\times91+201x\sqrt{19}}{91\sqrt{19}+110x}}}}}=\sqrt{19} + \dfrac{91}{{\sqrt{19}+{\color{green}\dfrac{91^2\sqrt{19}+91\times110x}{110\times91+201x\sqrt{19}}}}}
\\ \, \\[/tex]
[tex]x = \sqrt{19} + \dfrac{91}{{\color{red}\sqrt{19}+{\dfrac{91^2\sqrt{19}+91\times110x}{110\times91+201x\sqrt{19}}}}}=\sqrt{19} + \dfrac{91}{{{\color{red}\dfrac{201\times91\sqrt{19}+13829x}{110\times91+201x\sqrt{19}}}}}
\\ \, \\[/tex]
[tex] x = \sqrt{19} +{\color{blue} \dfrac{91}{{{\dfrac{201\times91\sqrt{19}+13829x}{110\times91+201x\sqrt{19}}}}}}= \sqrt{19} + \color{blue}\dfrac{91({110\times91+201x\sqrt{19}})}{{{201\times91\sqrt{19}+13829x}}}\\ \, \\[/tex]
[tex] x = \sqrt{19} + \dfrac{\color{blue}{91(110\times91+201x\sqrt{19})}}{{{201\times91\sqrt{19}+13829x}}}=\sqrt{19} + \dfrac{\color{blue}{110\times91^2 +91 \times 201x\sqrt{19}}}{{{201\times91\sqrt{19}+13829x}}}\\ \, \\[/tex]
[tex] x = \color{green}{\sqrt{19} + \dfrac{110\times91^2 +91 \times 201x\sqrt{19}}{{{201\times91\sqrt{19}+13829x}}}}=\color{green}{ \dfrac{\sqrt{19}\times (201\times 91 \sqrt{19}+13829x)+ 110\times91^2 +91 \times 201x\sqrt{19}}{{{201\times91\sqrt{19}+13829x}}}}\\ \, \\[/tex]
[tex] x = \dfrac{\sqrt{19}\times (201\times 91 \sqrt{19}+13829x)+ 110\times91^2 +91 \times 201x\sqrt{19}}{{{201\times91\sqrt{19}+13829x}}}\\ \, \\[/tex]
[tex] x = \dfrac{201\times91 \times 19+13829 \sqrt{19}x+ 91^2 \times 110+ 91 \times 201x\sqrt{19}}{{{201\times91\sqrt{19}+13829x}}}\\[/tex]
[tex] x(201\times91\sqrt{19}+13829x) = 201\times91 \times 19+13829 \sqrt{19}x+ 91^2 \times 110+ 91 \times 201x\sqrt{19}\\[/tex]
[tex] \bcancel{201\times91\sqrt{19} \, x}+13829x^2 = 201\times91 \times 19+13829 \sqrt{19}x+ 91^2 \times 110+ \bcancel{91 \times 201x\sqrt{19}}\\[/tex]
[tex] 13829x^2 = 201\times91 \times 19+13829 \sqrt{19}x+ 91^2 \times 110[/tex]
[tex] 13829x^2 -13829 \sqrt{19}x = 201\times91 \times 19+ 91^2 \times 110[/tex]
[tex] 13829x^2 -13829 \sqrt{19}x = 1258439[/tex]
[tex] 13829x^2 -13829 \sqrt{19}x – 1258439=0[/tex]
[tex] x^2 -\sqrt{19}x – 91=0[/tex]
Dessa forma, vemos que a equação original é equivalente à equação do segundo grau [tex] \boxed{x^2 -\sqrt{19}x – 91=0}[/tex], que é muito simples de ser resolvida.
Para resolvê-la, basta observamos que [tex]\Delta=19+364=383[/tex]; portanto [tex]x=\dfrac{\sqrt{19}\pm \sqrt{383}}{2}[/tex].
Assim, a soma dos valores absolutos das raízes da equação é [tex]A=\dfrac{\sqrt{19}+\sqrt{383}}{2}+\dfrac{\sqrt{383}- \sqrt{19}}{2}=\sqrt{383}[/tex].
Mais uma vez, [tex] \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$A^2=383$}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Uma solução tirada da cartola
Pessoas que estejam acostumadas a resolver problemas olímpicos conhecem algumas ferramentas de Matemática elementar que aparecem quando se estuda um tema conhecido como “Teoria das Frações Contínuas” (ou continuadas). Embora este nosso problema não seja exatamente o que poderíamos definir como um problema que envolva frações contínuas , pessoas que já resolveram muitos problemas desse tipo iniciariam a solução do problema em questão impondo que a equação
[tex]\qquad x = \sqrt{19} + \dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{{\sqrt{19}+\dfrac{91}{x}}}}}}}}}[/tex][tex]\qquad \qquad {\color{#800000}(I)}[/tex]
é equivalente à equação
[tex]\qquad x = \sqrt{19} + \dfrac{91}{x}[/tex], [tex]\qquad \qquad {\color{#800000}(II)}[/tex]
o que de fato é verdade.
Como na Matemática nossas afirmações carecem de justificativas, dependendo do contexto no qual um problema é resolvido, as afirmações que utilizamos precisariam ser comprovadas.
- No nosso caso, mostrar que se um número satisfaz a equação [tex]{\color{#800000}(II)}[/tex], então satisfaz também a equação [tex]{\color{#800000}(I)}[/tex] não é muito trabalhoso (veja clicando aqui).
Mas mostrar que se um número satisfaz a equação [tex]{\color{#800000}(I)}[/tex], então satisfaz também a equação [tex]{\color{#800000}(II)}[/tex] é tão trabalhoso quanto as duas soluções iniciais que apresentamos e não o faremos, pois nosso objetivo com esta observação é simplesmente apresentar
um truque tirado da cartola…