.Problema: Soluções da equação

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

Determine todos os pares

$(x , y)$ de números reais tais que

$(x^2 + y^2 – 1)^2 + (xy)^2 = 0$ .

Solução

Sendo

$a$ e

$b$ números reais, temos que

$(i)$

$\,\,a^2 + b^2 = 0 \,\, \Leftrightarrow \,\, a = 0 \,\,\textrm{e}\,\, b = 0$

$(ii)$

$\,a \cdot b = 0 \,\, \Leftrightarrow \,\, a = 0 \,\,\textrm{ou}\,\, b = 0$ .
Deste modo, temos as seguintes situações equivalentes:

$\qquad (x^2 + y^2 – 1)^2 + (xy)^2 = 0 \stackrel{{\color{#800000}(i)}}{\Leftrightarrow } \left\{\begin{matrix} x^2 + y^2 – 1 =0\\ xy = 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2 + y^2 = 1 \\ xy = 0 \end{matrix}\right.$

Da segunda equação, utilizando , temos $x= 0\,\,\textrm{ou}\,\,y=0$ .
Agora, substituindo esses valores na primeira equação, temos:

Se $x = 0$ , temos $y^2 = 1$ , ou seja, $y = \pm 1$ . Obtemos assim os pares $(0,1)$ e $(0,-1)$ .
Se $y = 0$ , temos $x^2 = 1$ , ou seja, $x = \pm 1$ . Obtemos assim os pares $(1,0)$ e $(-1,0)$ .