Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
A família Silva consiste em uma mãe, um pai e algumas crianças. A média de idade dos membros da família é [tex]20[/tex], o pai tem [tex]48[/tex] anos e a média de idade da mãe e das crianças juntas é [tex]16[/tex].
Quantas crianças há na família?
Solução
Primeiramente, vamos definir alguma notação. Considere:
- [tex]M:[/tex] idade da mãe
- [tex]P:[/tex] idade do pai
- [tex]C:[/tex] soma das idades de todas as crianças juntas
- [tex]x:[/tex] quantidade de crianças
Como a média das idades da mãe e das crianças é igual a [tex]\dfrac{M + C}{x + 1} = 16[/tex], podemos também escrever [tex]M + C = 16x + 16[/tex].
Se [tex]M + C = 16x + 16[/tex] e [tex]P=48[/tex], podemos obter [tex]x[/tex] utilizando a média da idade de todos os membros da família:
[tex]\quad \dfrac{16x + 16 + 48}{x + 2} = 20[/tex]
[tex]\quad 16x + 16 + 48 = 20(x + 2)[/tex]
[tex]\quad 16x + 16 + 48 = 20x + 40[/tex]
[tex]\quad 16x – 20x = 40 – 16 – 48[/tex]
[tex]\quad – 4x = – 24[/tex]
[tex]\quad x = \dfrac{- 24}{- 4}[/tex]
[tex]\quad \boxed{x = 6}[/tex].
Como vimos anteriormente, [tex]x[/tex] é a quantidade de crianças, logo há [tex]6[/tex] crianças na família. Podemos confirmar isto fazendo as duas médias citadas na questão:
- Média das idades da mãe e das crianças:
[tex]\quad \dfrac{16x + 16}{x + 1} = \dfrac{96 + 16}{7} = \dfrac{112}{7} = 16[/tex] - Média das idades de todos na família:
[tex]\quad \dfrac{16x + 16 + 48}{x + 2} = \dfrac{112 + 48}{8} = \dfrac{160}{8} = 20[/tex]
Solução elaborada pelo Clube 1uik, com contribuições dos Moderadores do Blog.