.Problemão: Aplicações Financeiras

Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)


Ana Luíza aplicou seu capital a juros simples com taxa mensal de [tex]6\%[/tex] durante [tex]5[/tex] meses. Após [tex]45[/tex] dias do início da aplicação de Ana Luíza, Ana Paula aplicou um capital [tex]50\%[/tex] superior ao capital aplicado por Ana Luíza, à taxa mensal de [tex]4\%[/tex], também no sistema de juros simples.
Ao final dos cinco meses da data da aplicação de Ana Luíza, os juros produzidos pelos capitais das duas atingiu [tex]R\$\ 5.100,00[/tex]. Qual o capital aplicado por Ana Luíza?

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Para ajudar. . .

Juros é a quantia gerada pela aplicação (ou pelo empréstimo) de um certo valor monetário – o capital – por determinado tempo, a uma taxa percentual fixa. Essa aplicação pode gerar juros constantes (Juros Simples) ou acumulados (Juros Compostos, popularmente chamados “juros sobre juros”).
Em um regime de juros simples, a taxa incide sempre sobre o valor inicial, período a período, produzindo um valor de juros constante em cada período de tempo da aplicação.

fig012

Com juros simples, a taxa varia linearmente ao longo do tempo: por exemplo, 1% ao dia será igual a 30% ao mês, que por sua vez será igual a 360% ao ano.
Já no regime de juros compostos, em cada período a taxa é aplicada sobre valores cada vez maiores, pois os juros produzidos em um período são incorporados ao valor que os produziram, de modo que a taxa seja aplicada a essa soma para produzir os juros do próximo período.

fig016

Como em cada período a taxa de juros incide sobre o capital inicial acrescido dos juros acumulados até o período anterior, o comportamento da taxa no regime de juros compostos não é linear; assim 1% ao dia não é igual a 30% ao mês, que por sua vez não é igual a 360% ao ano.




Alguns cálculos

Se [tex]C[/tex] é o capital inicial e [tex] \, i[/tex] é a taxa de aplicação, expressa em número decimal, então o juro obtido ao fim de cada período é constante e dado por [tex]J_p=C\cdot i[/tex].

fig017

Particularmente, no regime de juros simples, ao fim de [tex]n[/tex] períodos de aplicação, o investidor receberá a soma dos juros produzidos, [tex]J=C\cdot i \cdot n[/tex], mais o capital inicial aplicado; essa soma é denominada montante ([tex]M[/tex]) e é facilmente calculada:
[tex]\qquad M=C\cdot i \cdot n+C=C\cdot (i \cdot n+1)[/tex]

fig018

Os cálculos para os juros compostos ficarão para uma próxima oportunidade…

Solução


Seja [tex]C[/tex] o capital aplicado por Ana Luíza, assim o capital aplicado por Ana Paula será [tex]1,5\cdot C[/tex]. O tempo de aplicação de Ana Luíza foi de [tex]5[/tex] meses, enquanto o tempo de aplicação de Ana Paula foi de [tex]3,5[/tex] meses, pois esta última iniciou sua aplicação [tex]45[/tex] dias, ou seja, [tex]1,5[/tex] mês após o início da aplicação de Ana Luíza.
Como o capital de ambas foi aplicado no sistema de juros simples, ao final dos cinco meses da data da aplicação de Ana Luíza, temos a seguinte soma de juros relativos à aplicação das duas Anas:
[tex]\qquad \begin{align*} C\cdot 0,06 \cdot 5+1,5C\cdot 0,04 \cdot 3,5&=C\cdot (0,06 \cdot 5+1,5 \cdot 0,04 \cdot 3,5)\\
&=C\cdot (0,3+0,21)=0,51C\end{align*}[/tex];
assim, [tex]5100=0,51C[/tex], donde, finalmente, [tex]C=10000[/tex].
Portanto, o capital aplicado por Ana Luíza foi [tex]R\$\ 10.000,00[/tex].


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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