.Texto_015: Cubos perfeitos consecutivos

Justificativa: Seja [tex]x[/tex] um número natural tal que [tex] \, x^3+1[/tex] seja um cubo perfeito; assim, “[tex]x^3 \, [/tex] e [tex] \, x^3+1[/tex] são cubos perfeitos e consecutivos”.
Como [tex]x^3+1[/tex] é um cubo natural, então [tex]x^3+1=z^3[/tex] para algum [tex]z \in \mathbb{N}[/tex] e, com isso, temos que [tex]\sqrt[3]{x^3+1}=\sqrt[3]{z^3}[/tex]. Sendo [tex]z[/tex] um número natural, consequentemente [tex]\sqrt[3]{x^3+1}[/tex] é um número natural.
No entanto, [tex]x^3+1 \gt x^3[/tex]; assim [tex]\sqrt[3]{ x^3+1} \gt \sqrt[3]{x^3}=x[/tex] e, portanto, existe um inteiro positivo [tex]a[/tex] tal que [tex]\sqrt[3]{ x^3+1}=x+a[/tex]. Dessa forma,
[tex]\qquad (x+a)^3=x^3+1.\qquad \qquad [/tex] (*)
Porém,
[tex]\qquad (x+a)^3=x^3+3x^2a+3xa^2+a^3, \qquad \qquad[/tex] (**)
assim, de (*) e de (**), segue que
[tex]\qquad x^3+3x^2a+3xa^2+a^3=x^3+1,[/tex]
donde
[tex]\qquad 3x^2a+3xa^2+a^3=1[/tex].
Como [tex]x[/tex], [tex] \, a[/tex] e [tex] \, 3[/tex] são números naturais, perceba que as três parcelas da soma [tex]3x^2a+3xa^2+a^3[/tex] são também números naturais; logo, estamos nos propondo a escrever o número [tex]1[/tex] como soma de três números naturais. Mas, se [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex] são números naturais tais que [tex]A+B+C=1[/tex], só temos três possibilidades:
➤ [tex]A=B=0 \, [/tex] e [tex] \, C=1[/tex],
➤ [tex]A=C=0 \, [/tex] e [tex] \, B=1[/tex],
➤ [tex]B=C=0 \, [/tex] e [tex] \, A=1[/tex],
então, no nosso caso, temos estas possibilidades:
(1) [tex]3x^2a=3xa^2=0 \, [/tex] e [tex] \, a^3=1[/tex],
(2) [tex]3x^2a=a^3=0 \, [/tex] e [tex] \, 3xa^2=1[/tex],
(3) [tex]3xa^2=a^3=0 \, [/tex] e [tex] \, 3x^2a=1[/tex].
Por outro lado, note que [tex] \, a[/tex] é um número natural não nulo; assim temos [tex]x \geqslant 0[/tex] e [tex]a \gt 0[/tex], donde podemos concluir que
[tex]\qquad \boxed{a^3\geqslant 1}[/tex], [tex]\boxed{3x^2a\geqslant 0}[/tex] e [tex]\boxed{3xa^2\geqslant 0}[/tex].
A desigualdade [tex]a^3\geqslant 1[/tex] aponta que as alternativas (2) e (3) não ocorrem, então necessariamente ocorre (1), ou seja, [tex]3x^2a=0[/tex], [tex]3xa^2=0[/tex] e [tex] \, a^3=1[/tex].
✓ De [tex]a^3=1[/tex], segue que [tex]a=1[/tex].
✓ De [tex]3xa^2=0[/tex] e de [tex]a=1[/tex], segue que [tex]3x=0[/tex] e, assim, temos [tex]x=0[/tex].
Finalmente, [tex]x^3=0^3=0[/tex] e [tex](x+1)^3=1^3=1[/tex] e assim concluímos que: