Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
Para realizar uma dinâmica em uma aula de Matemática, a classe foi dividida em grupos de sete participantes e, em cada grupo, um participante deve ser o líder. Como o grupo de José teve dificuldade para fazer essa escolha, ele propôs as seguintes etapas:
[tex](i)[/tex] Identificar-se com a letra A e aos seus colegas com as letras B, C, D, E, F e G.
[tex](ii)[/tex] Pedir ao professor para escolher um número inteiro [tex]n[/tex] tal que [tex]2\ 131 \leqslant n \leqslant 2\ 136[/tex].
[tex](iii)[/tex] Iniciar a contagem de [tex]1[/tex] até [tex]n[/tex], associando [tex]1[/tex] ao aluno identificado com B, [tex]2[/tex] ao aluno identificado com C e assim por diante, até chegar a si mesmo, já identificado com A. Depois, continuar a contagem, recomeçando pelo aluno B e assim por diante, até chegar ao número [tex]n[/tex].
[tex](iv)[/tex] Irá tornar-se líder o aluno associado a [tex]n[/tex].
Algum aluno não terá a chance de ser o líder?
Solução 1
Note que a sequência de letras (associadas aos alunos) se repete a cada [tex]7[/tex] números, começando por B e terminando por A.
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{ccccccc}
A & B & C & D & E & F & G \\
& {\color{red}{1}} & {\color{red}{2}} & {\color{red}{3}} & {\color{red}{4}} & {\color{red}{5}} & {\color{red}{6}} \\
{\color{red}{7}} & {\color{blue}{8}} & {\color{blue}{9}} & {\color{blue}{10}} & {\color{blue}{11}} & {\color{blue}{12}} & {\color{blue}{13}} \\
{\color{blue}{14}} & \cdots & & & & & \\
\end{array}[/tex]
Agora, veja que [tex]2\ 128[/tex] é múltiplo de [tex]7[/tex], pois [tex]2\ 128=7\times 304[/tex].
Assim, ao contar até [tex]2\ 128[/tex], José estará no fim de uma sequência, ou seja, no aluno A, que corresponde ao próprio José.
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{ccccccc}
A & B & C & D & E & F & G \\
& {\color{red}{1}} & {\color{red}{2}} & {\color{red}{3}} & {\color{red}{4}} & {\color{red}{5}} & {\color{red}{6}} \\
{\color{red}{7}} & {\color{blue}{8}} & {\color{blue}{9}} & {\color{blue}{10}} & {\color{blue}{11}} & {\color{blue}{12}} & {\color{blue}{13}} \\
{\color{blue}{14}} & \cdots & & & & & \\
& & & & \cdots &{\color{green}{2\ 126}} &{\color{green}{2\ 127}} \\
{\color{green}{2\ 128}} & \cdots & & & & &\\
\end{array}[/tex]
Sendo assim, [tex]2\ 129[/tex] será associado ao aluno B; [tex]2\ 130[/tex], ao C; [tex]2\ 131[/tex], ao D; [tex]2\ 132[/tex], ao E; [tex]2\ 133[/tex], ao F; [tex]2\ 134[/tex], ao G; [tex]2\ 135[/tex], ao A; [tex]2\ 136[/tex], ao B.
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{ccccccc}
A & B & C & D & E & F & G \\
& {\color{red}{1}} & {\color{red}{2}} & {\color{red}{3}} & {\color{red}{4}} & {\color{red}{5}} & {\color{red}{6}} \\
{\color{red}{7}} & {\color{blue}{8}} & {\color{blue}{9}} & {\color{blue}{10}} & {\color{blue}{11}} & {\color{blue}{12}} & {\color{blue}{13}} \\
{\color{blue}{14}} & \cdots & & & & & \\
& & & & \cdots &{\color{green}{2\ 126}} &{\color{green}{2\ 127}} \\
{\color{green}{2\ 128}} & {\color{#8B008B}{2\ 129}} & {\color{#8B008B}{2\ 130}} & {\color{#8B008B}{2\ 131}} & {\color{#8B008B}{2\ 132}} & {\color{#8B008B}{2\ 133}} & {\color{#8B008B}{2\ 134}}\\
{\color{#8B008B}{2\ 135}} &\cdots & & & & &
\end{array}[/tex]
Pelo intervalo sugerido por José, de [tex]2\ 131[/tex] a [tex]\ 2\ 136[/tex], percebe-se que o aluno C não terá a chance de ser o líder.
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{ccccccc}
A & B & C & D & E & F & G \\
& {\color{red}{1}} & {\color{red}{2}} & {\color{red}{3}} & {\color{red}{4}} & {\color{red}{5}} & {\color{red}{6}} \\
{\color{red}{7}} & {\color{blue}{8}} & {\color{blue}{9}} & {\color{blue}{10}} & {\color{blue}{11}} & {\color{blue}{12}} & {\color{blue}{13}} \\
{\color{blue}{14}} & \cdots & & & & & \\
& & & & \cdots &{\color{green}{2\ 126}} &{\color{green}{2\ 127}} \\
{\color{green}{2\ 128}} & {\color{#8B008B}{2\ 129}} & {\color{#8B008B}{2\ 130}} & {\color{#8B008B}{\boxed{2\ 131}}} & {\color{#8B008B}{\boxed{2\ 132}}} & {\color{#8B008B}{\boxed{2\ 133}}} & {\color{#8B008B}{\boxed{2\ 134}}}\\
{\color{#8B008B}{\boxed{2\ 135}}} &{\color{#D2691E}{\boxed{2\ 136}}} & & & & &
\end{array}[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Sabemos que a contagem se iniciou no [tex]1[/tex], relacionando este número ao aluno [tex]B[/tex], depois o número [tex]2[/tex] ao [tex]C[/tex], e assim por diante. Com isso, nós podemos listar o primeiro número a ser relacionado a cada aluno:
[tex]\qquad B \, – \, 1[/tex]
[tex]\qquad C \, – \, 2[/tex]
[tex]\qquad D \, – \, 3[/tex]
[tex]\qquad E \, – \, 4[/tex]
[tex]\qquad F \, – \, 5[/tex]
[tex]\qquad G \, – \, 6[/tex]
[tex]\qquad A \, – \, 7[/tex]
Como um aluno só voltará a ser associado a algum número após um intervalo de [tex]7[/tex] números, já que deverá esperar a vez dos outros 6 colegas, podemos concluir que:
- O aluno [tex]B[/tex] será associado a todo número que dividido por [tex]7[/tex] deixa resto [tex]1[/tex].
- O aluno [tex]C[/tex] será associado a todo número que dividido por [tex]7[/tex] deixa resto [tex]2[/tex].
- O aluno [tex]D[/tex] será associado a todo número que dividido por [tex]7[/tex] deixa resto [tex]3[/tex].
- O aluno [tex]E[/tex] será associado a todo número que dividido por [tex]7[/tex] deixa resto [tex]4[/tex].
- O aluno [tex]F[/tex] será associado a todo número que dividido por [tex]7[/tex] deixa resto [tex]5[/tex].
- O aluno [tex]G[/tex] será associado a todo número que dividido por [tex]7[/tex] deixa resto [tex]6[/tex].
- O aluno [tex]A[/tex] será associado a todo múltiplo de [tex]7[/tex].
Além disso, percebemos que os múltiplos de [tex]7[/tex] mais próximos de [tex]2\ 131[/tex] são [tex]2\ 128\ (7\cdot 304)[/tex] e [tex]2\ 135\ (7\cdot 305)[/tex]; assim, podemos ver que:
- [tex]2\ 131[/tex] cairá no aluno [tex]D[/tex], pois é um número que quando dividido por [tex]7[/tex] deixa resto [tex]3[/tex];
- [tex]2\ 132[/tex] cairá no aluno [tex]E[/tex], pois é um número que quando dividido por [tex]7[/tex] deixa resto [tex]4[/tex];
- [tex]2\ 133[/tex] cairá no aluno [tex]F[/tex], pois é um número que quando dividido por [tex]7[/tex] deixa resto [tex]5[/tex];
- [tex]2\ 134[/tex] cairá no aluno [tex]G[/tex], pois é um número que quando dividido por [tex]7[/tex] deixa resto [tex]6[/tex];
- [tex]2\ 135[/tex] cairá no aluno [tex]A[/tex], pois é um múltiplo de [tex]7[/tex];
- por fim, [tex]2\ 136[/tex] cairá no aluno [tex]B[/tex], pois é um número que quando dividido por [tex]7[/tex] deixa resto [tex]1[/tex].
Assim, o único aluno que não cairá em nenhum dos casos será o aluno [tex]C[/tex].
Solução elaborada pelo Clube 1uik.