Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
Encontre a soma
[tex]\qquad \qquad6 + 66 + 666 + \ldots + \overbrace{666\ldots6}^{100\,\,dígitos}[/tex].
Justifique sua resposta.
Solução
[tex]6 + 66 + 666 + \ldots + \overbrace{666\ldots6}^{100\,\,dígitos}=[/tex]
[tex]= 6 \cdot (1 + 11 + 111 + \ldots + \overbrace{111\ldots1}^{100\,\,dígitos})[/tex]
[tex]= \dfrac{6}{9} \cdot (9 + 99 + 999 + \ldots + \overbrace{999\ldots9}^{100\,\,dígitos})[/tex]
[tex]= \dfrac{2}{3} \cdot (10 – 1 + 100 – 1 + 1000 – 1 + \ldots + 1\overbrace{000\ldots0}^{100\,\,dígitos} – 1)[/tex]
[tex]= \dfrac{2}{3} \cdot (10 + 100 + 1000 + \ldots + 1\overbrace{000\ldots0}^{100\,\,dígitos} – 100)[/tex]
[tex]= \dfrac{2}{3} \cdot (\overbrace{111\ldots1}^{100\,\,dígitos}0 – 100)[/tex]
[tex]= \dfrac{2}{3} \cdot (\overbrace{111\ldots1}^{99\,\,dígitos}00 – 90)[/tex]
[tex]= 2 \cdot (\overbrace{37037\ldots037}^{98\,\,dígitos}00 – 30)[/tex]
[tex]= \overbrace{740740\ldots740}^{99\,\,dígitos}0 – 60[/tex]
[tex]= \overbrace{740740\ldots740}^{96\,\,dígitos}7400 – 60[/tex]
[tex]= \overbrace{740740\ldots740}^{96\,\,dígitos}7340[/tex]
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