.Problema: Problema do Eneágono

Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)

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A figura ilustra um polígono regular de $9$ lados. A medida do lado do polígono é $a$, a medida da menor diagonal é $b$ e a medida da maior diagonal é $d$.

a) Determine a medida do ângulo $\angle {BAE}$;
b) Mostre que $d=a+b$.

Solução

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a) Sabemos que a medida do ângulo interno do eneágono regular é igual a $A_i=\dfrac{180^\circ(9-2)}{9}=140^\circ$.
Considere agora o pentágono $ABCDE$, como indicado na figura abaixo. A soma de seus ângulos internos é $540^\circ$.
Como $\angle{ABC}=\angle{BCD}=\angle{CDE}=140^\circ$ e, pela simetria da figura, sabemos que $\angle{EAB}=\angle{AED}=\alpha$, então
$\qquad 2\alpha+3\cdot140^\circ=540^\circ$
donde
$\qquad \boxed{\alpha=60^\circ}$

b) Seja $X$ o ponto de intersecção das retas $AB$ e $DE$.

Como $\angle{XAE}=\angle{XEA}=\alpha=60^\circ$, o triângulo $AXE$ é equilátero.
O triângulo $BXD$ também é equilátero, pois a reta $AE$ é paralela à reta $BD$; assim, temos $AX=AE \,$ e $\, BX=BD$.
Dessa forma, $AE=AX=AB+BX=AB+BD=BC+BD$, ou seja, $d=a+b$.

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.