Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Considere três circunferências com raios medindo [tex]5\ cm[/tex], [tex]4\ cm[/tex] e [tex]3\ cm[/tex].
Se elas são traçadas de forma que cada uma delas é tangente exteriormente às outras duas, como mostra a figura, qual o valor da área do triângulo formado pelos centros das circunferências?
Solução
Heron de Alexandria (± 10-70), ou ainda Hero ou Herão, foi um matemático grego. É dele a fórmula que nos permite calcular a área de um triângulo em função das medidas dos seus três lados.
Em um triângulo de lados medindo [tex]a, \, b, \, c[/tex], a fórmula de Herão nos garante que a área desse triângulo é:
[tex]\qquad \qquad Área=\sqrt{p\cdot(p-a)\cdot(p-b)\cdot(p-c)}[/tex],
onde [tex]p[/tex] é o semiperímetro do triângulo em questão, ou seja, [tex]p=\dfrac{a+b+c}{2}[/tex].
Observando a figura abaixo, podemos calcular a área do triângulo pela fórmula de Herão.
Assim, o semiperímetro do triângulo dado é
[tex]\qquad p=\dfrac{7+8+9}{2}=12 \, cm[/tex]
e a área solicitada
[tex]\qquad Área=\sqrt{12\cdot(12-7)\cdot(12-8)\cdot(12-9)} =12\cdot \sqrt{5} \, cm^2.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
De acordo com a figura dada, os lados do triângulo são [tex]7,8[/tex] e [tex]9 \, cm[/tex], pois cada lado é formado por dois raios ([tex]4+3[/tex], [tex]5+3[/tex], [tex]4+5[/tex]).
Considere a fórmula
[tex]\qquad A=\sqrt{p(p−a)(p−b)(p−c)}[/tex];
substituindo [tex]p[/tex] pela metade do perímetro, ou seja, [tex]12[/tex], e substituindo ainda [tex]a[/tex] por [tex]9, \, b[/tex] por [tex]8[/tex] e [tex]c[/tex] por [tex]7[/tex], a fórmula fica da seguinte maneira:
[tex]\qquad A=\sqrt{12(12−9)(12−8)(12−7)}[/tex].
Dessa forma,
[tex]\qquad A= \sqrt{12\times3\times4\times5}[/tex].
Assim:
[tex]\qquad A= \sqrt{12\times12\times5}[/tex]
[tex]\qquad A= \sqrt{144\times5}[/tex]
e como [tex]144[/tex] é um quadrado perfeito e sua raiz é [tex]12[/tex], temos:
[tex]\qquad A= 12 \sqrt5 \,\,cm^2[/tex].
Solução elaborada pelo COM Grupo Pitagórico, com contribuições dos Moderadores do Blog.