Problema
Determine todas as funções reais [tex]f: \mathbb{R} → \mathbb{R}[/tex], tais que
[tex]\qquad \qquad f(x^2 + yf(x)) = xf(x + y)[/tex].
Solução
Seja [tex]f: \mathbb{R} → \mathbb{R}[/tex] uma função tal que
[tex]\qquad \qquad f(x^2 + yf(x)) = xf(x + y)[/tex].[tex]\qquad\qquad (i)[/tex]
Inicialmente, observe que se [tex]x=y=0[/tex], por [tex](i)[/tex], obtemos que [tex]f(0)=0[/tex].
Vamos dividir a nossa discussão em dois casos:
- existe um número real [tex]x_o\ne 0[/tex] tal que [tex]f(x_o)= 0[/tex];
- [tex]f(x)\ne 0[/tex], para todo [tex]x\ne 0[/tex].
(1) Se existir um número real [tex]x_o\ne 0[/tex] tal que [tex]f(x_o)= 0[/tex], então, por [tex](i)[/tex], [tex] \, f(x_o^2 + yf(x_o)) = x_of(x_o + y) \, [/tex] e, assim,
[tex] \qquad\qquad f(x_o + y)=\dfrac{f(x_o^2 )}{x_o}, \, \forall y\in \mathbb{R}[/tex].[tex]\qquad\qquad (ii)[/tex]
Note que [tex] \, \dfrac{f(x_o^2 )}{x_o} \, [/tex] é um número real, logo [tex](ii)[/tex] nos garante que [tex]f[/tex] é uma função constante. E como [tex]f(0)=0[/tex], então [tex]f[/tex] é a função nula, que pode ser assim denotada: [tex] \, f \equiv 0[/tex].
(2) Suponha, agora, que [tex]f(x)\ne 0[/tex] para todo [tex]x\ne 0[/tex].
Observe que se [tex] y = −x[/tex], a hipótese do problema garante que [tex] f(x^2 -xf(x)) = xf(x-x)=xf(0)=0[/tex]. Logo
[tex]\qquad\qquad f(x^2 -xf(x))=0, \, \forall x\in \mathbb{R} [/tex]. [tex]\qquad\qquad (iii)[/tex].
Como [tex]f(x)\ne 0[/tex] para todo [tex]x\ne 0[/tex], por [tex](iii)[/tex] concluímos que [tex]x^2 -xf(x)=0[/tex], para todo [tex]x\ne 0[/tex], e isso implica, então, que [tex]f(x)=x[/tex], para todo [tex]x\ne 0[/tex].
Como [tex]f(0)=0[/tex] e [tex]f(x)=x[/tex] para todo [tex]x\ne 0[/tex], então [tex]f(x)=x, \, \forall x\in \mathbb{R}[/tex].
Pelo exposto, temos duas funções [tex]f: \mathbb{R} → \mathbb{R}[/tex] que satisfazem a igualdade requerida: [tex] \, \boxed{f \equiv 0} \, \, [/tex] e [tex] \, \, \, \boxed{f(x)=x, \, \forall x\in \mathbb{R}}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Nível S – 3ª série